168 



der genäherten Quadratur ebener Flächen besteht darin, dass man 

 das Integrationsintervall in n gleiche Theile theilt und die Funktion 

 hinter dem Integrationszeichen durch eine ganze rationale Funktion 

 wten Grades ersetzt, deren Werte mit jenen der ursprünglichen 

 Funktion für den Anfang und für jedes der folgenden ^Intervalle 

 übereinstimmt. Im geometrischen Sinne wird jene Partie der Ab- 

 scissenaxe, über welcher sich die die Fläche begränzende Curve er- 

 streckt, in n gleiche Theile getheilt, in jedem Theilungspunkte, den 

 Anfangs- und Endpunkt der Strecke mit eingerechnet, die zur Curve 

 gehörige Ordinate construirt und schliesslich die ursprüngliche Curve 

 durch eine Parabel ^ten Grades ersetzt, welche mit der ursprüng- 

 lichen Curve jene früher bestimmten (n -f- 1) Punkte gemein hat. 

 Dieses Verfahren wurde von Newton allgemein angedeutet und für 

 den Fall von vier Ordinaten wirklich durchgeführt. Cotes, der sich 

 schon früher mit diesem Gegenstande befasst hatte, wurde durch die 

 Eleganz der von Newton gewonnenen Resultate bewogen, die Unter- 

 suchung auf eine grössere Anzahl von Ordinaten auszudehnen. Die 

 in den betreffenden Formeln auftretenden Coefficienten wurden von 

 demselben bis zu dem Falle von 11 Ordinaten, wobei also das Inte- 

 grationsintervall in 10 gleiche Theile zu theilen ist, mit grosser 

 Sorgfalt berechnet und in der Schrift: De methodo differentiali New- 

 toniana mitgetheilt, ohne jedoch die Methode der Berechnung an- 

 zugeben. An der Spitze der am 16. September 1814 der göttinger 

 Societät vorgelegten Abhandlung „Methodus nova integralium valores 

 per approximationem inveniendi" giebt Gauss ein Verfahren zur Be- 

 rechnung der Cotesischen Quadraturcoefficienten , ohne jedoch zu 

 bestimmten Schlussformeln zu gelangen. Im Jahre 1850 hat sich 

 Grunert mit demselben Gegenstande befasst. Die von ihm erzielten 

 wenig übersichtlichen Resultate sind im XVI. Bande seines Archivs 

 in der Abhandlung „Uiber die näherungsweise Ermittlung der Werte 

 bestimmter Integrale" niedergelegt. 



Die folgende Untersuchung liefert die Werte der einzelnen Co- 

 tesischen Coefficienten unter Zuziehung von Determinanten in ge- 

 schlossener Form und führt zu Resultaten, die sich an die von Gauss 

 gefundenen eng anschliessen. 



2. Behufs genäherter Berechnung des bestimmten Integrales 



F = fydx (1) 



theilen wir das Integrationsintervall b — a=zh in m gleiche Theile 

 und bezeichnen den dem rten Theilungspunkte entsprechenden Wert 



