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Vortrag: „Über die Bestimmung der Axen von Centralprojectionen 

 des Kreises" zum Ausgangspunkt diente und für den wir im Nach- 

 folgenden einen selbständigen neuen Beweis liefern wollen. 



Beschreibt (siehe Fig. 2) eine Gerade G in der Ebene eines 

 Kegelschnittes C einen Strahlenbüschel mit dem Scheitel p, so ist 

 die Enveloppe der zu ihr in jeder Lage rechtwinkligen und bezüglich 

 C conjugirten Geraden G x eine Parabel 77, welche die Axen von C 

 und die Normalstrahlen 77, H x der Strahleninvolution des Punktes p 

 zu Tangenten hat. 



Bei der Drehung der Geraden G durchlauft der Pol g 1 der- 

 selben die gerade Polare P von p, und es ist die Punktreihe P dem 

 Strahlenbüschel p projectivisch, was zur Kechtfertigung des ausge- 

 sprochenen Satzes hinreicht. Nicht ohne Interesse dürfte jedoch der 

 nachfolgende Beweis des Satzes sein. 



Legen wir durch p und die Doppelpunkte q,q l der Involution 

 auf P einen Kreis K und construiren zu q, q x ,p den vierten harmo- 

 nischen p zugeordneten Punkt <p, so liegt der zweite Schnittpunkt g 

 von G mit K auf der Geraden g x <p. Denn projiciren wir die vier 

 harmonischen Punkte aus g auf P, so erhalten wir die harmonische 

 Punktreihe qq x yg x - 



Betrachten wir ferner das durch die Geraden cpg u 6r, G l gebildete 

 rechtwinklige Dreieck für jede Lage der beweglichen Geraden čr, so 

 sehen wir, dass der Winkel g desselben constant bleibt, und dass 

 demzufolge auch der Winkel bei g x seine Grösse nicht ändert. Wenn 

 sich aber ein Winkel von unveränderlicher Grösse in der Ebene (im 

 bestimmten Sinne) derart fortbewegt, dass ein Schenkel desselben 

 durch einen festen Punkt y geht, der Scheitel auf einer festen Ge- 

 raden P gleitet, so berührt der zweite Schenkel eine Parabel, die 

 q> zum Brennpunkt, die Gerade P zur Tangente besitzt und letztere 

 in jenem Punkte berührt, mit dem der Scheitel zusammenfällt, wenn 

 der beschreibende Schenkel mit der Geraden P zur Deckung gelangt. 



Für diesen Satz findet man einen elementaren Beweis im ersten 

 von Herrn Geiser bearbeiteten Bande von J. Steiner's Vorlesungen 

 pag. 114 der ersten Auflage. Dieser Beweis kann jedoch auch in 

 der nachfolgenden Weise einfach hergestellt werden. Offenbar fällt 

 derselbe mit dem Beweise des nachstehenden Satzes zusammen : Zieht 

 man (siehe Fig. 3) aus dem Brennpunkte / einer Parabel C nach 



allen Tangenten T^T 2 Strahlen unter einem const. Winkel a 



nach derselben Seite, so liegen die Fusspunkte g^g 2 auf einer 



Tangente G der Parabel. Die Tangente berührt die Parabel in jenem 



