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p eine Strecke yd ab, die gleich ist der zwischen den Axen der Ellipse 

 liegenden Strecke aß der Normale. 



Dieselben Resultate können auch aus der, nunmehr keines wei- 

 teren Commentars erheischenden Fig. 26 in doppelter Weise abge- 

 leitet werden. 



Sehr einfach ist auch der unmittelbare Zusammenhang der Con- 

 structionen Fig. 23a und Fig. 28 zu erklären. 



In der letzteren Fig. wurde pq gleich gemacht pa und in q die 

 Senkrechte auf den Durchmesser op errichtet. Diese schneidet die 

 Normale in s und es ist: 



qs — am. 



Denken wir uns nämlich von a die Senkrechte auf o p gefällt, 

 so bildet diese mit der Tangente und Normale von p ein Dreieck, 

 welches mit p q s congruent ist, woraus mit Bezug auf Fig. 23 a 

 die Richtigkeit der Construction sofort erhellet. 



6. Eine der bekannteren Constructionen des Krümmungshalb- 

 messers für einen beliebigen Punkt p der Ellipse ist die nachfolgende. 



Man beschreibt über der grossen Axe der Ellipse einen Kreis 

 K und fällt von p auf diese Axe eine Senkrechte, welche, in ihrer 

 Verlängerung über p hinaus, K in p i schneidet. Wird vom Schnitt- 

 punkte a der Normale mit der grossen Axe ein Perpendikel auf den 

 Radius o p x des Kreises K gefällt, und durch den Fusspunkt b x des- 

 selben die Parallele zu p p t gezogen, so trifft letztere die Normale in m. 



Diese Construction lässt sich mit Hilfe des Vorangehenden leicht 

 beweisen, wenn wir die Ellipse als affine Projection des Kreises K 

 betrachten. 



Um zunächst den zu p homologen Punkt p 1 auf K in dem Falle 

 zu erhalten, wenn die Ellipse blos durch die Lage der Axen den 

 Punkt p und dessen Tangente gegeben ist, beschreiben wir (siehe 

 Fig. 27) über oc als Durchmesser einen Halbkreis und ziehen pp L 

 normal auf o c. Denn opc ist die affine Projection des rechten Win- 

 kels op t c und folglich op x ein Radius von K. Fällen wir nun von 

 a die Senkrechte a b x auf den Radius und suchen zu dieser Geraden 

 die homologe a b in Bezug auf die Ellipse, so muss, nach dem be- 

 kannten Affinitätsgesetze, die Gerade cp mit ab parallel sein und 

 folglich ab auf der Normale von p senkrecht stehen. Fig. 8 beweist 

 jedoch, dass die von b auf die grosse Axe der Ellipse gefällte Senk- 

 rechte (in unserer Figur daher die Gerade bb t ) die Normale im Krüm- 

 mungsmittelpunkte m schneidet. 



