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rechten auf den Diameter op gefällte Normale III durch 

 den Krümmungsmittelpunkt von p. 



Denken wir uns in o die Senkrechte auf op errichtet, so bildet 

 diese mit 6 und der Normale 1 ein Dreieck, das mit 1 I III con- 

 gruent ist. Dies beweist wieder die Construction Fig. 32 a. 



Die Begründung einer sehr einfachen Krümmungsradius- Con- 

 struction der Hyperbel enthält Fig. 34. In dem Schnittpunkte der 

 Normale mit der reellen Axe wird die Senkrechte I auf die Normale 

 (daher die Parallele zur Tangente) verzeichnet und mit dem Durch- 

 messer von p in b zum Schnitt gebracht. Das vom Punkte b auf die 

 reelle Axe gefällte Perpendikel trifft die Normale im Krümmungs- 

 mittelpunkte m für p. 



Hier haben wir die Axen resp. mit 3, 4, die Normale mit 1, 2 

 und die unendlich ferne Tangente mit 5 bezeichnet, während wir uns 

 die Tangente des Punktes p mit 6 bezeichnet gedacht haben. 



Ist (siehe Fig. 35) 3 die imaginäre Axe der Hyperbel, 1, 2 die 

 Normale des Hyperbel-Punktes jp, 6 die Tangente desselben und 4, 5 

 die unendlich ferne Gerade, so schneidet die durch p parallel zur 

 imaginären Axe gezogene Gerade II die im Schnittpunkte der ima- 

 ginären Axe mit der Normale auf letztere errichtete Senkrechte I 

 im Brianchon'schen Punkte o, von dem wir die Senkrechte III auf 

 op zu fällen haben, um eine durch m gehende Gerade zu erhalten. 



Wird von dem Punkte 3 6}cZ die Senkrechte auf op gefällt, so 

 bildet dieselbe mit der imaginären Axe und der Normale ein mit 

 1 II III congruentes Dreieck. 



Hieraus folgt: 



Fällt man von dem Punkte d (Fig. 35 a), in welchem 

 die Normale eines b eliebigen Hyperbelpunktes p die 

 imaginäre Axe schneidet, auf den Durchmesser des 

 Punktes die Senkrechte und wird diese von der Nor- 

 male in ó getroffen, während die imaginäre Axe die 

 Normale im Punkte ß schneidet, so ist die Strecke ßd 

 dem Krümmungsradius pm des Punktes p gleich. 



Für die reelle Axe der Hyperbel gilt der analoge Satz: 



Schneiden die Tangente und Normale eines belie- 

 bigen Hyperbelpunktes p (siehe Fig. 36 a) die reelle Axe 

 resp. in a, a und wird durch cc die Senkrechte auf den 

 Diameter von p gefällt, welche die Normale in ß trifft, 

 so ist die Länge aß dem Krümmungshalbmesser von p 

 gl e i eh. 



