231 



struction für die Bestimmung des Schnittpunktes m der beiden zu- 

 sammenfallenden Tangenten 1, 2. 

 Die Geraden 



23j 34) 



56! 1? 6l! n 

 schneiden sich im Brianchon'schen Punkte b und die von b auf op 

 gefällte Normale III geht durch m. 



Aus dieser Figur lassen sich einige schöne Besultate mit grösster 

 Leichtigkeit ableiten. 



Zunächst können wir beweisen, dass die Gerade III mit der 

 Diagonale bh des durch die Geraden I, II, 3, 6 gebildeten Parallelo- 

 gramme bnhv identisch ist, und m daher mit dem Schnittpunkte 

 der Diagonalen dieses Parallelogramme zusammenfällt. 



Es ist das Dreieck bvn mit dem Dreieck pqq L ähnlich, da die 

 Seiten der beiden Dreiecke aufeinander resp. senkrecht stehen. 

 Wenn wir daher die Seite nv des kleineren Dreiecks in m halbiren, 

 so wird z. B. auch das Dreieck in bmn mit poq x ähnlich sein, was 

 die Gleichheit der Winkel mbn und opq l zur Folge hat. Da aber 

 bn auf pq x senkrecht steht, so muss auch bm normal gerichtet sein 

 auf pp 1 d. h. die Diagonale bh fällt in der That mit der Geraden III 

 zusammen. Hieraus folgt: 



Schneiden die von den Punkten s, s x auf ihre zugehörigen 

 Polaren gefällten Senkrechten 3, 6 die Normale des Punktes p in w, 

 v resp., so wird die Strecke nv durch den Krümmungsmittelpunkt 

 m von p halbirt. Ferner geht die vom Schnittpunkte h der Geraden 

 3, 6 auf op gefällte Senkrechte durch den Krümmungsmittelpunkt 

 hindurch. 



Der Punkt h ist aber der Höhenschnitt des Dreiecks oss^ Denn 

 es ist 3 normal auf pq und daher auch auf os t , und 6 senkrecht auf 

 pq x und folglich auch auf os. 



Fällen wir daher von s (Fig. 72) die Senkrechte auf pq v bis 

 die in o auf qq x errichtete Normale in k getroffen wird, so geht das 

 von h auf pp i gefällte Perpendikel durch den Krümmungsmittelpunkt 

 m von p. 



Oder wir fällen (siehe Fig. 73) von p x die Normale auf qq x 

 und von q die Senkrechte auf p t q t ; ist h der Schnittpunkt der beiden 

 Senkrechten, und wird die in o auf qq L errichtete Normale von dem 

 aus h auf pp x gefällten Perpendikel in [i geschnitten, so ist op gleich 

 dem Krümmungsradius pm von p. 



