241 



20. Fünf Tangenten eines Kegelschnittes C sind gegeben ; man 

 bestimme den Krümmungsradius des Berührungspunktes p einer 

 dieser Tangenten. Statt den Berührungspunkt auf einer der ge- 

 gebenen Tangenten mit Hilfe des Brianchon'schen Satzes zu con- 

 struiren, nehmen wir (siehe Fig. 89) blos vier Tangenten T, T x , T 2 , T 3 

 von C beliebig an, betrachten den in T willkürlich gewählten Punkt p 

 als Berührungspunkt und ersetzen hiedurch die fünfte Tangente. 



T und die Normale 1, 2 des Punktes p sind zwei Tangenten 

 der Steiner'schen Parabel TT, die dem Punkte p in der uns bekannten 

 Weise zugehört. 



Wir verbinden, um zwei weitere Tangenten von TT zu erbalten, 

 p mit den Ecken « 1? s 2 des durch die übrigen drei Tangenten T Y 

 T 2 T z gebildeten Dreiecks s l s 2 s 3 und construiren die Pole # n tf> 2 

 dieser Verbindungsgeraden ^ ^ bezüglich C. 



Die Geraden ^i, *P 2 schneiden die resp. Gegenseiten des 

 Dreiecks s 1 s 2 s 3 in a, ß, und die Gerade aß trifft die dritte Seite 

 im Punkte y, dessen Verbindungsgerade mit s 3 die Polaren 5 r 1 , W 2 

 in (? t , ^ schneidet. Die Pole ^ 1? ^ werden nun erhalten, wenn 

 wir a 2 mit s l und a x mit s 2 verbinden und diese Verbindungsgerade 

 mit T zum Schnitt bringen. 



Die von den gefundenen Punkten auf die resp. Polaren ge- 

 fällten Normalen 3, 4 sind Tangenten von TT. 



Bezeichnen wir die unendlich ferne Gerade mit 6, die Tangente 

 T mit 5, so ist der Brianchon'sche Punkt b durch die Geraden 



2 31 3 4 



5 61' 6 



!}■ 



bestimmt, und die Verbindungsgerade III der Punkte 6, ^ 2 geht 

 durch m. 



Ein Kegelschnitt C(Fig. 90) ist durch drei Tangenten T, 7\ T 2 

 und den Mittelpunkt o bestimmt; man construire den Krümmungs- 

 mittelpunkt für den Berührungspunkt p der Tangente T. 



Um den Punkt p zu erhalten, verbinden wir o mit dem Halbi- 

 1 rungspunkte c der Seite s x s 2 des durch die Tangenten gebildeten 

 Dreiecks s s l s 2 und ziehen durch s die Parallele zu c o. Schneidet 

 I diese Gerade die Seite s t s 2 in t, so ist 



s 2 t = s iP . 



Von der Steiner'schen Parabel TT des Punktes p kennen wir nun 



zwei Tangenten (nämlich die Tangente 3 und Normale 1, 2 von p) 



und die Directrix op. Eine dritte Tangente von TT wird erhalten, wenn 



wir von s 2 (oder sj die Normale 4 auf die Berührungssehne S 2 



16 





