243 



22. Einige von den im Vorangehenden bewiesenen Krümmungs- 

 radius-Constructionen der Kegelschnitte leisten bei der Lösung der 

 nachfolgenden in das Gebiet der darstellenden Geometrie einschla- 

 genden wichtigen Aufgabe vorzügliche Dienste. Ein Wulst & (siehe 

 Fig. 92 Taf. I) ist durch die Axe A und den Meridiankreis K gege- 

 ben. Für einen zur zweiten Projectionsebene parallelen Lichtstrahl L 

 wurde der Punkt p der Selbstschattengrenze S auf dem Parallel- 

 kreise P ermittelt. Man construire in p die Tangente an S. 



Bekanntlich kommt nach dem Theorem der conjugirten oder 

 reeiproken Tangenten von Dupin die Lösung der Aufgabe darauf 

 hinaus, eine die Oberfläche Sl im Punkte p osculirende Fläche 

 zweiter Ordnung zu ermitteln, und die Schnittlinie der Polarebene 

 eines beliebigen Punktes des durch p gehenden Lichtstrahls A be- 

 züglich mit der Tangentialebene p des Wulstes zu construiren. 



Wir wählen diese osculirende Oberfläche derart, dass eine 

 mit &> coaxiale Rotationsfläche wird und den Wulst daher in allen 

 Punkten des Parallelkreises P osculirt. Den Mittelpunkt o dieser 

 Oberfläche erhalten wir, indem wir den Mittelpunkt eines Kegelschnit- 

 tes C construiren, welcher im Punkte q (in dem P von K geschnitten 

 wird) den Kreis K osculirt und A zur Axe besitzt. 



Von einem Kegelschnitte C sind somit ein Punkt q, der Krüm- 

 mungsmittelpunkt m des Punktes und eine Axe (der Lage nach) ge- 

 geben, es soll der Mittelpunkt o von C construirt werden. 



Hiefür liefert die vollständig bestimmte Steiner'sche Parabel 77 

 des Punktes q verschiedene Lösungen. Am einfachsten erhalten wir 

 diesen Mittelpunkt mit Hilfe der Krümmungshalbmesser-Construction 

 Fig. 13. 



Wir bestimmen den Schnittpunkt n von qm mit -á, errichten 

 nb normal auf nm und bringen diese Normale mit der horizontalen 

 Geraden des Punktes m in b zum Schnitt. Die Gerade bq schneidet 

 A in dem gesuchten Mittelpunkte o. 



Denken wir uns nun die Polarebene für den unendlich fernen 

 Punkt von Á in Bezug auf construirt und mit der Tangential- 

 ebene p des Wulstes zum Schnitt gebracht, so kommen wir zu dem 

 Resultate, dass die Gerade p"o die vert. Protection T" der gesuchten 

 Tangente ist. Die Bestimmung der hor. Protection dieser Tangente 

 bedarf keiner weiteren Auseinandersetzung. 



23. Ein Torus Sl sei durch die Axe A und den Meridian K 

 siehe Fig. 93) gegeben. S h , Sv sind die Spuren einer auf der 



zweiten Projectionsebene normalen Tangentialebene des Wulstes. 



16* 



