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Man bestimme die Doppelpunktstangenten T, T v des Schnittes, den 

 die Ebene 8 mit dem Torus hervorbringt. 



Diese Tangenten, welche bekanntlich nur dann reell sind, wenn 

 der Berührungspunkt p der Tangentialebene 8 auf der Region der 

 hyperbolischen Punkte der Oberfläche Sl liegt, sind die beiden durch 

 p gehenden gradlinigen Erzeugenden einer Oberfläche O zweiter 

 Ordnung, welche in diesem Punkte den Wulst osculirt. Die Ober- 

 fläche O ist selbst dann nicht bestimmt, wenn sie eine Rotations- 

 fläche sein soll, und wir können dieselbe in dem Falle noch so er- 

 mitteln, dass sie, mit dem Torus coaxial, diesen längs des Parallel- 

 kreises P von p osculirt. 



Die vert. Contour C dieses osculirenden Rotationshyperboloides 

 ist eine Hyperbel, die in p" den Kreis K osculirt und die Gerade A" 

 zur imaginären Axe besitzt. Für die Bestimmung des Mittelpunktes 

 von C gelten verschiedene Constructionen, da es hiebei blos darauf 

 ankommt, die auf A" normale Tangente jener Parabel TL zu bestimmen, 

 welche A", 8 V und die Normale mn des Punktes p" zu Tangenten 

 besitzt, und die letztgenannte Tangente in m berührt. 



Wir ziehen es indess vor, die vert. Protection h" der Schnitt- 

 punkte h^ h der beiden durch p gehenden gradlinigen Erzeugenden 

 des osculirenden Hyperboloides O mit der Ebene seines Kehlkreises 

 direct zu bestimmen. Die Construction des Punktes h" ist sehr einfach. 

 Schneidet p"p' die horizontale Gerade des Punktes m in 6, so ist %**> 

 der Schnittpunkt von 8 V mit nb. 



In der h. Projection erscheinen die gesuchten Tangenten als 

 Tangenten T\ T\ der hor. Projection des Kehlkreises des Hyper- 

 boloides. Beschreiben wir daher über Äp f als Durchmesser einen 

 Kreis und bringen diesen mit der von h" auf die a?-Axe gefällten Senk- 

 rechten in h', h\ zum Schnitt, so sind p'h', p f h\ die ersten Pro- 

 jectionen der gesuchten Haupttangenten des Punktes p. 



Dass ä" in der That die vert. Projection der Punkte ä, h y ist, 

 in denen die gesuchten geradlinigen Erzeugenden von O den Kehl- 

 kreis der osculirenden Oberfläche schneiden, beweist Fig. 94. Wird 

 daselbst die Normale mn mit 1, 2, die Spur 8 V mit 3, A" mit 6, die 

 unendlich ferne Gerade mit 5 bezeichnet, und suchen wir diejenige 

 Tangente 4 der Parabel 71, die auf 6 normal steht, indem wir ihren 

 Schnittpunkt h" mit 3 construiren, so treffen sich nach dem Satze 

 von Brianchon die Geraden 



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