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durch man zugleich eine neue und interessante Eigenschaft der Bino- 

 mialkoefficienten erhält, welche auch in zahlentheoretischer Beziehung 

 eine gewisse Beachtung verdient. 



Wie man durch nochmalige Anwendung meines oben citirten 

 Determinantensatzes aus der letzten Formel unter Verwendung der 

 Identität 



6, c 



eč, e 

 j c, d 

 6, c I I c, d 

 a, 6 I ' 6, c 

 könnte, ist an sich klar und soll 

 hier nicht weiter verfolgt werden. *) 



c, d, O, e 

 &, c, 0, d 

 6, 0, c, d 

 a, 0, 6, c 

 noch eine neue Formel ableiten 



29. 



Über eine neue Formel der Kombinatorik. 



Vorgetragen von Prof. Dr. Franz Studnička am 25. Jänner 1878. 



Hat man eine Fakultät in Form einer nach Potenzen ihrer 

 Differenz geordneten Reihe darzustellen, so erhält man offenbar aus 

 der Identität 



a n \ d = a(a + d)(a + 2d)...(a-{- n—\ d), (1) 



wenn rechts die angezeigte Multiplikation vollführt wird, 

 u«\* = a« + a"- 1 d Z C t + a n ~ 2 d 2 E C 2 + . . . + a d"- 1 £ C„_i, (2) 

 wobei das Symbol 2 C k die Summe der aus den Elementen 



1,2,3, ..., n— 1 

 gebildeten Kombinationen fc-ter Ordnung bedeutet, so dass man spe- 

 ciell hat 



27Q = l + 2 + 3 + ... + (n--l)=:(fO t (3) 



2 C n -i = 1 . 2 . 3 . . . . (n — 1) = (n — 1) ! (4) 



Um nun diese Summe für ein beliebiges k zu finden, gehe man 

 von der allgemeinen Formel aus 



a n I d — a n + A 1 a»- 1 d + A 2 a«~ 2 d 2 + . . . + A n ^ a d"- 1 (5) 

 und bestimme die Werthe der noch unbekannten Koéfficienten 



A l% A 2 , A^ . . ., Ai— i , 



*) Die von Dr. S. Günther citirte Abhandlung „Om Determinanter, hwars 

 elementer äro Binomialkoeffici enter" habe ich mir nicht verschaffen können. 



