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Setzt man der Kürze halber 



y = [/(*)]■• (5) 



wobei die Bezeichnung gilt 



f(x) z= a Q + a t x -f a 2 x 2 + . . . -f- a m x m , (6) 



so wird offenbar nach dem Satze von Maclaurin, sofern 



d k y 



X 



(k) 



y Q w = 

 zu bedeuten hat, 



dx* 



(7) 



/y» /y» *• rpttlfl 



y=y + - n yo'+ YT y " + ... + 1 ^ ¥ yo^\ (8) 



da nach der Natur der Funktion (5) 



yjrt = O für p > wiw. 



Vergleicht man also die Reihe (8) mit der Reihe (1), so erhält 

 man die allgemeine Formel 



y (*) 



**=.%-, (9) 



welche unsere Aufgabe löst, wenn man die hier vorhandene &-te 

 Derivation der Funktion (5) für den Werth von x = O zu bestimmen 

 im Stande ist. 



Nun ergibt sich aus der Relation 



y=f n , 



wenn derivirt wird, 



y , = n fn-lf 



und wenn die erste Gleichung mit nf, die zweite hingegen mit / 

 multiplicirt wird, nach Vergleichung der beiden Resultate die neue 

 Gleichung 



n vf —fy' = °- 



Wird nun diese Gleichung wiederholt derivirt, so erhält man 

 das System von Gleichungen, diese selbst an die Spitze gestellt, 

 nfy ^~fy f t=t 0, 



«f"y + (2» ~ 1)/Y + (n - 2)/' y" —fy'" zz: 0, 



"f lY y + (3n - l)f"y> + (dt» - 3)/'y + (n - 3)/y " -/y 17 = 0, 



w / (fc) 2/ + (nfc-^/i— \)fi k -Vy' + . . . + (n — Ä + l)/y*- 1} — /y (A) = 0. 

 Aus diesem System von & bezüglich der Grössen 



y, y\ y", -if 



linearen Gleichungen lassen sich nun die (k — 1) mittleren Grössen, 

 also das erste und letzte ausgenommen, sofort eliminiren, so dass 



