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zur Bestimmung der Axen der Schlagschattencurven, die von der 

 Oberfläche auf die Projectionsebenen geworfen werden, direct an- 

 wendbar sind, so erlaube ich mir dieselben im Nachfolgenden mit- 

 zutheilen und ihre praktische Verwendbarkeit bei der Lösung der 

 beiden erwähnten Probleme darzuthun. 



Was das Problem der Construction der Schlagschattengrenze 

 einer Fläche zweiten Grades überhaupt betrifft, so wird dasselbe in 

 allen mir bekannten Werken dadurch gelöst, dass man die einzelnen 

 Punkte der Selbstschattencurve aus dem leuchtenden Punkte auf die 

 Projectionsebene projicirt. Die nachfolgende Construction ist jedoch 

 von jener der Selbstschattengrenze durchaus unabhängig. 



Im Nachfolgenden sollen blos die Selbst- und Schlagschatten- 

 grenzen von allgemeinen Oberflächen zweiten Grades behandelt werden, 

 da ich diese Probleme speciell für Eotationsflächen durch meine in 

 dem siebenundzwanzigsten Jahresberichte der steier märkischen Landes- 

 oberrealschule in Graz enthaltene diesbezügliche Abhandlung für er- 

 ledigt halte. 



2. In Fig. 1. ist ein allgemeines Ellipsoid durch seine Axen 

 aa 1? bb t , cc^ gegeben, man soll für den Leuchtpunkt s die Selbst- 

 schattengrenze der Fläche construiren. 



Wie aus der Fig. ersichtlich ist, haben die drei Axen eine 

 solche Lage, dass die Hauptebenen der Fläche die Stellung der Pro- 

 jectionsebenen besitzen. Die der horizontalen und verticalen Projec- 

 tionsebene beziehungsweise parallelen Hauptschnitte aa x b\ und aa Y 

 cc t wurden in den Projectionen zwar gezeichnet, wodurch wir die hor. 

 und vert. Contourcurve E h , E v ^ der Fläche erhalten haben, zu den 

 nachfolgenden Constructionen ist die Verzeichnung der Cur ven jedoch 

 nicht nothwendig. 



Es ist bekannt, dass, wenn man die Perspective E einer Ober- 

 fläche zweiter Ordnung aus dem willkürlichen Punkte s des Kaumes 

 auf einer Ebene bildet, die Projection eines jeden ebenen Schnittes 

 der Fläche von E doppelt berührt wird. Die Berührungssehne ist 

 die Polare der Projection des Scheitels jenes Kegels, welcher der 

 Fläche längs des ebenen Schnittes umschrieben wird, in Bezug auf E. 

 Dies berechtigt uns zu der Folgerung, dass die horizontale Projec- 

 tion S' der Selbstschattengrenze S die horizontale Projection E h der 

 Fläche doppelt berühren wird und zwar in den Doppelpunkten der 

 Involution, welche die Polare Z' von s' (bezüglich E h ) mit E h hervor- 

 bringt. Durch die Construction dieser Polare 2' erhalten wir daher 



