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Von S' kennen wir daher nun zwei von s' ausgehende Tangenten, 

 sammt ihren auf E' liegenden Berührungspunkten und den Mittel- 

 punkt. 



Wenn S' aus den Axen construirt werden soll, so hätten wir 

 uns zunächst mit der Bestimmung der Axen eines Kegelschnittes zu 

 befassen, der durch die erwähnten Bestimmungsstücke gegeben ist. In 

 später nachfolgenden Ausführungen soll gezeigt werden, in welcher 

 Weise dieses Problem allgemein gelöst werden kann, nämlich für den 

 Fall, wenn die Tangenten reell, als auch für jenen wenn sie imaginär 

 sind. Dem vorausgehend wollen wir, das Problem der Axenbestimmung 

 eines Kegelschnittes, welcher einen zweiten doppelt berührt und wei- 

 teren Bedingungen Genüge leistet, einer eingehenden Erörterung un- 

 terwerfen und die nachfolgenden diesbezüglichen folgereichen Betrach- 

 tungen einschalten. 



3. Wird (siehe Fig. 4.) in der Ebene des Kegelschnittes C ein 

 Strahl um den Scheitel s gedreht, so beschreibt der zu ihm in jeder 

 Lage conjugirte und normale Strahl, eine Parabel, welche die Axen 

 A, B von C, die Normalstrahlen JV, iV\ der Strahleninvolution des 

 Punktes s und seine Polare 2 zu Tangenten besitzt. Denn es er- 

 zeugen die Pole der Strahlen des Büschels s auf der geraden Polare 

 U von s eine zu dem Strahlenbüschel projectivische Punktreihe, und 

 wenn man von jedem Punkte einer Punktreihe auf den entsp rechenden 

 Strahl eines ihr projectivischen Strahlenbüschels die Normale fällt, 

 so hüllen alle diese Normalen bekanntlich eine Parabel ein.*) 



Hieraus folgt, dass der Durchmesser os die Directrix D der 

 Parabel ist, und dass der Parabelbrennpunkt p mit jenem Diagonal- 

 punkt des vollständigen Vierseits ABNN X zusammenfällt, welcher der 

 Diagonale D gegenüber liegt. Da die Geraden JV, N L normal und be- 

 züglich C conjugirt sind, so bestimmen sie mit B ein Dreieck, dessen 

 umschriebener Kreis K durch die reellen Brennpunkte f,f l des Kegel- 

 schnittes C geht, und da die den Parabelbrennpunkt bestimmenden 

 Diagonalen AN X , BN und AN, BN l auf einander senkrecht stehen, 

 so wird jo ebenfalls auf K liegen. In Folge der bekannten harmoni- 

 schen Eigenschaften des vollständigen Vierseits bilden os und op 

 gleiche Winkel mit den Axen von (7, und die Punkte /, / n p, s sind 

 daher vier harmonische Punkte des Kreises K. 



*) Siehe Artikel 2. unserer Abhandlung : „Die Krümmungsradius-Constructionen 

 der Kegelschnitte als Corollarien eines Steiner'schen Satzes", Sitzungsbe- 

 richte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften 1879. 



