523 



Der erhaltene Punkt gehört der Directrix ^z/ x des Brennpunktes 77 

 an. Der über 4 X M X als Durchmesser beschriebene Halbkreis K 9 wird 

 von der in 77 auf 77^ errichteten Senkrechten in r derart ge- 

 schnitten, dass M t r gleich ist der grossen, und 7IT der kleinen 



| Halbaxe von S 2 . 



8. Wie man sieht, sind bei den im Vorangehenden gelieferten 

 Constructionen die Polaren Z\ £'\, welche den Punkten s', s" be- 

 züglich der beiden Contourkegelschnitte JS7 Ä , E v resp. entsprechen, 

 blos zur Bestimmung der Mittelpunkte der Selbst- und Schlagschatten- 

 grenze benützt worden. Die Involutionen, welche diese Polaren mit den 

 Contourkegelschnitten beziehungsweise hervorbringen, haben wir weiter 

 gar nicht betrachtet, und es wurde insbesondere über die Realität 

 der Doppelpunkte dieser Involutionen keine Frage erhoben. Wir haben 

 blos mit solchen Elementen operirt, die sich bei einer jeden Fläche 

 zweiter Ordnung stets als reell herausstellen und schliessen hieraus, 

 dass die im Vorangehenden zur Bestimmung der Axen der Curven 

 S\ S'\ #!, S 2 führenden Constructionen für alle Flächen zweiten 

 Grades gleichmässig gelten. Nichtsdestoweniger soll im Nachfolgenden 

 das Problem der Axenbestimmung der Selbst- und Schlagschatten- 

 grenzen noch an einigen Flächen zweiten Grades in unserer Art 

 behandelt werden, um einerseits die gemachte Aussage thatsächlich 



1 zu begründen, anderseits um einige dabei sich ergebende Parti culari- 



; täten hervorzuheben. 



Es sollen z. B. die Axen der Projectionen der Selbstschatten- 

 grenze eines einfachen Hyperboloides construirt werden. Die Fläche 



! ist (siehe Fig. 2) durch ihre Hauptaxen aa^ bb^ cc x bestimmt, wobei 



i cc L die absolute Länge der imaginären Axe des Hyperboloides vor- 

 stellt. Der leuchtende Punkt s ist durch seine Projectionen s', s" 

 gegeben. Die Fläche wurde durch zwei von ihrem Mittelpunkte 

 o gleichweit abstehende mit der Hauptschnittebene aa x bb^ parallele 

 Schnitte E u E 2i von denen der erste in der horizontalen Projections- 

 ebene liegt, begrenzt. 



Wir construiren zunächst wieder die Polare 2' von s' in Bezug 

 auf die horizontale Contourcurve E h der Fläche, und die Polare B*\ 

 von s" bezüglich der verticalen Contour H v des Hyperboloides. Da 

 2 selbst in dem horizontalen, und 2 X in dem verticalen Hauptschnitte 

 der Fläche liegt, beide Geraden aber der Polarebene des Punktes s 

 bezüglich der Fläche angehören, so ist hiedurch diese Polarebene 

 vollständig bestimmt. Die vert. projicirende Ebene von os schneidet 

 die Geraden 27, Z x in den Punkten ft, <? x und folglich wird oV von 



