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12. Der Schlagschatten S 2i den die Fläche auf die verticale 

 Projectionsebene wirft, wird durch den Schatten begrenzt, den die 

 Ellipse AA 1 BB 1 auf dieser Projectionsebene hervorbringt. Wenden 

 wir uns zur Construction dieses Schlagschattens der Ellipse E 2 , so 

 liefert uns Fig. 4 hinreichende Anhaltspunkte für die directe Axen- 

 bestimmung desselben. Aus Fig. 4 folgt nämlich unmittelbar, dass 

 wenn von der Ellipse C (siehe Fig. 4) blos der Mittelpunkt o und 

 die Tangenten T, T x sammt den Berührungspunkten £, t t gegeben 

 wären, folgendermassen die Axen von C ermittelt werden könnnten. 



Durch die Punkte í, ř^ s legen wir (siehe Fig. 5) einen Kreis 

 K und bestimmen zu denselben den vierten harmonischen, s zuge- 

 ordneten Punkt p. Zu diesem Zwecke haben wir blos durch den 

 zweiten Schnittpunkt k von os mit K die Parallele zu tt x zu ziehen. 

 Die gesuchten Axen halbiren die Winkel pos und (180°— pos), während 

 die Brennpunkte /, f x von C mit den Punkten j>, s auf einem Kreise 

 K x liegen. 



Die Länge der grossen Halbaxe ist bekanntlich gleich der Ent- 

 fernung des Mittelpunktes o von dem Fusspunkte des aus / oder f\ 

 auf eine der beiden Tangenten gefällten Perpendikels. 



Sind nun cca u ßß x (siehe Fig. 2) die Central-Projectionen der 

 Axen AA U BB X der Ellipse jE 2 , so ist der Halbirungspunkt v der 

 Strecke ßß t der Mittelpunkt der Schlagschattencurve E* von E 2 und 

 die Tangenten der Ellipse E* in den Punkten a, a x gehen durch s". 

 Durch die Punkte a, a x , s" legen wir einen Kreis und bestimmen 

 zu den drei Punkten den vierten harmonischen, s" conjugirten Punkt «. 

 Da hier der Mittelpunkt des Kreises ausserhalb der Papiergrenze 

 fällt, so wurde der Winkel a^nit z= s^n^ gemacht, und auf der er- 

 haltenen Geraden % derart ermittelt, dass n% die dritte geometrische 

 Proportinale zu ns" und na v ist. 



Die Axen von E* halbiren die Winkel nvs" und (180° — itvs"), 

 während das Quadrat der halben Excentricität dieser Ellipse 



S ř, V . V7t 



gleich ist. Da wir ausserdem noch vier Punkte sammt Tangenten von 

 E* kennen, so ist über die Bestimmung der Axenlängen jede weitere 

 Bemerkung überflüssig. 



Die Curven E t und S x sind doppelt berührende Kegelschnitte. 

 Ihre gemeinsame Berührungssehne III IV kann leicht ermittelt wer- 

 den. Denn sie ist die horizontale Spur der Polarebene des Punktes s 

 in Bezug auf die Fläche d. h. der Ebene der beiden Geraden 2 und 



