532 



Winkel sop und 180° — sop halbiren, und dass hierbei p der Brenn- 

 punkt einer Parabel ist, von welcher 27, die im Centralpunkt a auf 

 diese Gerade errichtete Senkrechte X und die Nornialstrahlen der 

 Involution s Tangenten sind. Viel, ja alles kommt hier daher auf 

 die Bestimmung dieses Parabelbrennpunktes an. Beschreiben wir über 

 qq t als Durchmesser einen Kreis K, so schneidet dieser X in den 

 Punkten c, c 15 aus welchen die Involution 2 durch rechtwinklige 

 Strahlenpaare projicirt wird. 



Der dem Dreieck cc x s umschriebene Kreis K x schneidet 27 in 

 dem Punktepaar rc, %, das mit s verbunden uns die Normalstrahlen 

 N, N x der Involution s geben würde. Da nun snn x ein der erwähnten 

 Parabel umschriebenes Dreiseit ist, so muss der Parabelbrennpunkt 

 p auf K Y liegen, und da er der Diagonalpunkt des vollständigen 

 Vierseits NN L 2X ist, welcher der Diagonale (Parabeldirectrix) oa 

 gegenüber liegt, so wird ap mit cc x denselben Winkel einschliessen wie 

 00. Hieraus folgt, dass p erhalten wird, wenn man vom Schnitt- 

 punkte k der Geraden oa mit K x die Normale auf 2 fällt. Durch p 

 sind die Axen des Kegelschnittes der Lage nach bestimmt. Legen 

 wir durch p und s einen Kreis -ST 2 , dessen Mittelpunkt auf der den 

 Winkel 180°— sop halbirenden Axe liegt, so schneidet dieser die zweite 

 Axe in den Brennpunkten /, f v Wird die von f x auf 2 gefällte 

 Normale bis zu ihrem Schnittpunkte d mit os verlängert, so ist d 

 ein Punkt der Directrix dd x des Brennpunktes f x . Die grosse Halb- 

 axe der Ellipse ist die mittlere Proportionale zu den Strecken od x , 

 of x und wir erhalten dieselbe z* B. wenn wir f x e zu od x machen und 

 aus den Punkten d u e Kreise mit dem Radius od t beschreiben. Ist 

 g ein Schnittpunkt der beiden Kreise, so ist og der halben grossen 

 Axe der Ellipse gleich. 



19. Der vorangehende Artikel beweist, dass man, wenn der Mit- 

 telpunkt und zwei Tangenten sammt Berührungspunkten von einem 

 Kegelschnitte gegeben sind, die Axen desselben stets einfach selbst 

 in dem Falle construiren kann, wenn die Tangenten imaginär sind. 

 Das Problem der Axenbestimmung der Projection der Selbstschatten- 

 grenzen von Oberflächen zweiten Grades lässt daher noch eine an- 

 dere, von der im Vorangehenden erörterten theilweise abweichende 

 Lösung zu. 



Die Gerade 2 f (siehe Fig. 1) schneidet nämlich — wie schon 

 im Artikel 2 bemerkt wurde — E h in zwei reellen oder imaginären 

 Punkten — den Doppelpunkten der Involution, die 2 mit E h hervor- 

 bringt — in welchen die horizontale Projection S' der Selbstschatten- 



