279 



üach Potenzen des letztern zu entwickeln, und die Eigenschaften und 

 den Zusammenhang der als Coefficienten der Indexpotenzen auftre- 

 tenden, von der Form der Funktion / (x) abhängigen Funktionen 

 von x zu studiren. 



Die Hauptresultate dieser Untersuchungen gipfeln in dem wich- 

 tigen Theoreme: 



„Jede begrenzte Derivation einer Funktion, welche nebst ihrer 

 1. Ableitung durch das ganze Argumentgebiet, über welches die 

 Derivation erstreckt wird, endlich und stetig bleibt, kann in eine 

 unendliche nach den ganzen positiven aufsteigenden Potenzen des 

 Index fortschreitende Reihe entwickelt werden, in welcher jeder Coéffi- 

 cient aus dem vorangehenden, von einem numerischen Factor ab- 

 gesehen, mittelst eines und desselben Bildungsgesetzes 

 abgeleitet werden kann." 



Dieses „Bildungs-" oder besser „Ableitungsgesetz" ist eine sehr 

 einfache, über das Argumentgebiet der begrenzten Derivation sich 

 erstreckende, lineare Funktionaloperation. 



Der Verfasser schlägt für dieselbe den Namen : „Logiirung" -— 

 für das Resultat dagegen, welches entsteht, wenn sie an einer be- 

 stimmten Funktion angebracht wird, den Namen: „Logial" vor. 



Das von einer beliebigen Funktion F\x) genommene, über das 



geradlinige Argumentgebiet von x-=za bis x = x ausgedehnte 



*~ * 

 „Logial" wird durch das Symbol L[F(x] dargestellt, und durch 



x TZa 



die Gleichung: 



(6) LF(x)°Z* = 



lim. 



_n F(a+n—lÓ) F(a+n— 2d) F[a-\-n— 30) 



w °9 x _ a j 2 3 



n 



f lim á = O, lim n = co , lim (ná) -=.x — a\ 

 definirt, vorausgesetzt dass, und in so lange als der im rechten 

 Theile angegebene Klammerausdruck einer bestimmten Funktion 

 von x als Grenze zustrebt. 



Wird diese Funktionaloperation (die „Logiirung") mehrmals 

 hintereinander mit derselben Funktion F(x) vorgenommen, — die 

 Ausführbarkeit derselben vorausgesetzt — , so entstehen successive 

 Funktionen von cc, welche, da jede von ihnen aus der vorangehenden 

 durch die über dasselbe Argumentgebiet erstreckte „Logiirung" 



