vom 26. ylpril 1861. 463 



der Theorie der homogenen Functionen dritten Grades eng zu- 

 sammenhängt, vollständig auszuführen. Die folgende Mitthei- 

 lung giebt das Resultat und eine Übersicht des bei der Herlei- 

 tung eingeschlagenen Verfahrens. 



Es sei /(x, j) = eine Gleichung dritten Grades zwischen 

 X und j von der allgemeinsten Form, in Folge deren y als 



df(x Yi 



Function von x betrachtet werde. Ferner werde ^ — mit 



/'(j) bezeichnet, so ist, nach Hrn. Weierstrafs, unter den 

 Integralen J*F(x,y)dx^ wenn man dieselben nach dem in der 

 Theorie der elliptischen Integrale angenommenen Eintheilungs- 

 Prinzip classificirt, 



*dx 



'fU) 



das einzige von der ersten Gattung, und dieses ändert seine 

 Form nicht, wenn man die Gleichung zwischen x und j 

 durch lineare Substitutionen umformt; woraus unmittelbar folgt, 

 dafs bei der Reduction dieses Integrals auf die Grundform eines 

 elliptischen Integrals der ersten Gattung die Theorie der In- 

 varianten u. s. w. der homogenen Functionen dritten Grades 

 von drei Veränderlichen, welche ich in dem Journal für Ma- 

 thematik, Bd. 39 und 66 entwickelt habe, zur Anwendung kom- 

 men mufs. In der That ergiebt sich folgendes Theorem: 



ndx 



JfU) 



„Es ist 



rdx __ 1 n 



dX 



wo 45* und T die beiden Invarianten resp. der vierten und sechs- 

 ten Ordnung der homogenen Function f(xiy a-^, ^^3) sind, in 



welche sich xlf(xjy) dadurch umwandelt, dafs man x= — 1 



Xj 

 X'^ 



j s= — setzt. Zugleich hat der Radicand 2 2' -h 3 i^A — X' die Be- 



x^ 



deutung, dafs er gleich Null gesetzt, mit der Gleichung (Grelle 

 Bd. 39. S. 158) übereinstimmt, welche ich zur Auflösung des 

 Hesseschen Problemes, die Functionen zu finden, deren Functio- 

 naldeterminanten die gegebene Function /(^i, «2, x^) reprodu- 

 ciren, aufgestellt habe, indem unter Functionaldetcrmlnante die 



