vom 25. ydprU 1861. 467 



über. Es bleibt aber noch die sehr compHcIrle biquadratische 

 Gleichung zu lösen, welche die Werthe der a^ liefert. Diese 

 kann man dadurch vermeiden, dafs man die Bestimmung der 

 Multlplicatoren ot^ ganz dem Calcül überläfst, und dafür die 

 Werthe der a^ als gegeben ansieht, welche alsdann der 

 Gleichung f{aaa) =0 genügen müssen. Um rückwärts die Wer- 

 the von «« auszudrücken, und zugleich die einfachste Form des 

 Radicanden zu bilden, bleibt noch eine Umformung der Pro- 

 dukte "^{A'A'Y^- f"{x^x-^) ührig, welche ich jetzt angeben will. 

 Man drücke diese Function vollständig in die Coefficienten der 

 Generatrice aus, indem man Acf)"(x^ji^) statt f"(x^x^) setzt, 

 dann geht dann nach den Fundamental -Eigenschaften der Inva- 

 rianten S, welche ich im 55sten Bande § 8 gegeben habe, auch 

 schon aus dem speciellen Satze des Hrn. Hesse No. 4 S. 164 

 seiner Abhandlung hervor, dafs 



:$(A'A'r'Acp"{x^x^) = S'.(p(c<ux) 



ist, wo S' die Invariante S für ^ ist, und zwar irrational wird, 

 aber als Factor in der Folge fortgelassen werden kann, wodurch 

 eine complicirte Gröfse der Rechnung a priori vermieden wird. 

 Es folgt hieraus 



'—3(f{ccxx)^ ^ -i-^f(xxx).f(aax)=Mf(^aax).(p , (ätaa;).(j>2(aaa.').^3 (aao;), 



und die neue Constante M ergiebt sich alsdann als eine nume- 

 rische, wie a priori ersichtlich ist, aus irgend einem speciellen 

 Fall = — 2. Da schliefslich 



^,(aö;r)=X,/(aaa:)-f- A/(aaa:), f/>g (aax) = }.2/(aax)-i- Af(^aax), 

 c^3 (aaa:) = ?.^/(aax)-t- Af(aax) 



ist, wo A,, ^2, X3 die Wurzeln der erwähnten cubischen 

 Gleichung sind, und alle 3 Functionen für x^ = «^ verschwinden 

 müssen, so ist auch /(aacn,) = ^/{aacc) = 0, also 



mithin noch einen bekannten Determinantensatz: 



