610 Gesamrntsitzung 



Sinne nicht auflösbaren Gleichungen erhalten bleiben mufs, und 

 dieser Forderung gemäfs sind die neuen algebraischen Functions- 

 zeichen zu wählen, mit Hilfe deren die Auflösung von Glei- 

 chungen im weiteren Sinne zulässig wird. 



Die erwähnte Forderung, welche ich in einer ausführliche- 

 ren Mittheilung näher begründen werde, leitete bei der Be- 

 schäftigung mit den Gleichungen fünften Grades mich darauf 

 hin, rationale Functionen der fünf Wurzeln zu suchen, deren 

 verschiedene durch Permutalion der Wurzeln entstehende distincte 

 Werthe möglichst viele identische Relationen unter einander 

 haben. Indem ich aus leicht ersichtlichen Gründen nur solche 

 Permutationen zuliefs, welche einen Werth der Quadratwurzel 

 aus der Discriminante der Gleichung fünften Grades ungeändert 

 lassen, fand ich in der That zwölfwerthige rationale Functionen 

 der fünf Wurzeln, welche die Eigenschaft haben, dafs je zwei 

 von den zwölf Werthen derselben sich nur durch das Vorzei- 

 chen unterscheiden und die sechs verschiedenen absoluten Wer- 

 the durch drei lineare Relationen mit einander verbunden sind. 

 Das Quadrat einer solchen Function ist deshalb Wurzel einer 

 Gleichung sechsten Grades, deren Coefficienten aus denen der 

 Gleichung fünften Grades und aus der Quadratwurzel der Dis- 

 criminante in rationaler Weise zusammengesetzt und nur von 

 drei solchen rationalen Ausdrücken abhängig sind. Durch die 

 Auffindung dieser Art von Functionen gelang es mir erstens 

 fast ohne alle Rechnung die Modulargleichung fünfter Ordnung 

 für die Auflösung der Gleichungen fünften Grades zu benutzen 

 und ich habe deshalb zwei jener bemerkenswerthen Functionen 

 Hrn. Herrn ite in einem Briefe mitgetheilt, welcher in den 

 comptes rendus der Pariser Akademie vom Jahre 1858 abge- 

 druckt ist; zweitens aber war dadurch die Möglichkeit gegeben, 

 die allgemeinen Gleichungen fünften Grades in einer der oben 

 erwähnten Forderung entsprechenden Weise aufzulösen, aber 

 freilich nur mit Hilfe algebraischer Functionen von zwei Va- 

 riabein. Um diesen wichtigen Punkt näher zu erörtern, setze ich: 



/y \ __ V V • ^^^ 2 2 



J\-^Ot '^M ■^2'> ^^1 ^4/ —< ■*- Sin - • JC^ ^'m+n ^m-t-2n 



wo ctq, a^i, X2y x^y Xi^ die Wurzeln einer Gleichung fünften Grades: 



