vom 27. Juni 1861. 611 



X=o bedeuten, die Summationen sich auf die Werthe m=0, 1, 2, 3, 4 

 und n = 1, 2, 3, 4 erstrecken, und die gröfseren Indices auf die 

 kleinsten Reste modulo: 5 zu reduciren sind. Alsdann genügt 

 /(xq, *•,, ^2? "^3) ^4) einer Gleichung zwölften Grades: 



I. (/'-+- a)'4-4a(/^-Ha)5-M06(/2+a)3H-4c(/2+a) 



— 4ac + 5Ä^=0 



in welcher a, 6, c zweiwerthige ganze rationale Functionen der 

 fünf Wurzeln jc sind. Aber es giebt aufser der Function / 

 noch unzählige rationale Functionen der Wurzeln r, welche die- 

 selbe Eigenschaft haben, Gleichungen zwölften Grades von der 

 angegebenen Farm zu erfüllen'), und unter den rationalen ge- 

 brochenen Functionen dieser Art giebt es wiederum solche, 

 für welche die den Gröfsen a, ä, c entsprechenden Aus- 

 drücke nur von zwei rationalen zweiwerthigen Functionen: 

 <^(xo,x,,x2,u:3,x4), \f/(a;o,x,,x2,x3,x4) abhängen. Eine derar- 

 tige speziellere Function / ist daher eine implicite gegebene alge- 

 braische Function von (p und \^ und möge als solche mit: 

 W{(p^ n//) bezeichnet werden. Da nun die Functionen: / cyklisch 

 sind, also mit Hilfe derselben die Gleichung: X=0 auflösbar 

 wird, so lassen sich die Wurzeln der allgemeinen Gleichung 

 fünften Grades mit Hilfe von Quadratwurzeln, fünften Wurzeln 

 und mit Hilfe des Functionszeichens: W explicite darstellen, 

 und zwar in einer Weise, welche die oben angedeutete Forde- 

 rung vollständig erfüllt. — Alles diefs ergab sich mir im We- 

 sentlichen bei Auffindung jener Functionen: / als unmittelbare 

 Consequenz. Aber es galt nun zu ermitteln, ob hiermit die 

 Frage abgeschlossen, d. h. ob es unmöglich sei, die algebraische 

 Function zweier Variabein: FF auf solche von einer Variabein 

 zurückzuführen. Dafs, wenn man jene mehrerwähnte Forderung 

 dabei fallen läfst, eine solche Reduction in der That möglich 

 ist, war seit lange bekannt und Ist von mir in jenem Briefe an 



*) Man sehe hierüber auch die Ausführungen des Hrn. Brioschi in 

 seiner Note: ,,Sul metodo di Kronecker per la risoluzione delle equazioni di 

 quinlo grado" (am 25. November 1858 im Lombaidischen Institut gelesen), 

 wo auch für eine besondere Function f der vollständige Ausdrnck der 

 Coefficienten a, 6, c durch die Invarianten der Gleichung fünften Grades 

 zuerst gegeben ist. 



