616 Gesammtsitzung 



Wenn die Gleichung (2 n -j- 2)ten Grades : Z = o den Mo- 

 dulargleichungs-Affect hat und deren Wurzeln, in einer gewis- 

 sen Ordnung genommen, mit: 4:, zq, Zj, . . . 22« bezeichnet wer- 

 den, so lassen sich stets ganze rationale Functionen von z fin- 

 den, für welche die folgenden linearen Gleichungen bestehen; 



Die durch das Zeichen S angedeutete Summatlon bezieht sich 

 in beiden Gleichungen auf die Werthe m = 0, 1, . . . . bis (n — l) und 

 in der zweiten Gleichung bedeutet ow eine primitive nX.^ Wurzel 

 der Einheit und r jeden quadratischen Rest von n, so dafs die- 

 selbe genau \{n — l) Gleichungen repräsentirt. Es glebt fer- 

 ner Functionen /'(z), für welche dieselben linearen Relatio- 

 nen bestehen, wenn darin für die Exponenten r die sämmtllchen 

 NIchtreste von n gesetzt werden. Endlich ist zu bemerken, 

 dafs genau -1" (^^ "*- Functionen f{z) und ebensoviel Functio- 

 nen f'{z) existiren, welche linear unabh'änglg von einander sind. 

 Jede der Functionen /(z) ist Wurzel einer Gleichung 

 {in -H 2)ten Grades, deren Coefficienten aus denjenigen der 

 Gleichung: Z = o rational zusammengesetzt sind. Enthalten 

 nun für ein bestimmtes f{z) diese Coefficienten irgend eine va- 

 riable Gröfse: c^, so sind auch sämmtliche Differentialquotienten: 



K~t ^~ä-> • • • • offenbar rationale Functionen von z, und zwar 



solche die zu den allgemeinen Functionen f(z) gehören. 

 Auch bildet f(z) selbst zusammen mit deren ersten -^ (n — l) 

 nach a genommenen Ableitungen ein System von linear unab- 

 hängigen Functionen und es ist deshalb der "1" C'* ~*~ O^^e Dif- 

 ferentialquotient eine lineare Function der vorhergehenden. Die 

 Function /(^), welche zugleich eine impliclte gegebene algebrai- 

 sche Function von a ist, genügt demnach als solche einer linea- 

 ren Differentialgleichung der -|- (" -I- l)sten Ordnung, deren voll- 

 ständiges Integral durch 



5^C,c.""/(z„) 



dargestellt werden kann, wenn * der Reihe nach gleich Null und 

 gleich den verschiedenen Nichtresten genommen wird, wenn 



