L. et A. BRAVAIS. — Dlpposlllun des /euilles. 5 1 



trouvera les autres divergences secondaires ; ainsi on aura 

 A = 5. 140" — 2. 36o° = — 20% «Ts = 4-60% etc. 



Lorsque des spires se changent en rangées verticales, leur diver- 

 gence secondaire est nulle et l'équation (A) se change alors en ^1=^ 



A/2. 36o° ,„. , ^ ' j- 

 (B) , c est-a-dire que , 



((4)) Lorsqu'il existe des rangées verticales, la divergence gé- 

 nératrice peut s'exprimer par une fraction de la circonférence 

 dont le numérateur est le nombre encyclique de ces rangées , 

 et le dénominateur leur nombre secondaire. 



Considérons maintenant le passage de Tinsertion n à une in- 

 sertion supérieure 77, -j- ra susceptible de donner une spire se- 

 condaire par n + n\ en étant jointe avec l'insertion o. Il est 

 évident d'abord que le nombre de tours nécessaire pour aller 

 de 72 à 72 H- /z' est le même que pour aller de o à 72^ : car si n 

 portait le numéro o, n + n aurait le numéro 72' : aussi ce nom- 

 bre de tours est-il égal à A72 . Par une raison pareille , la diver- 

 gence qui sépare entre elles les feuilles 72 et 72 -f- 72' est égale à 

 la divergence secondaire de l'insertion n\ c'est-à-dire à é^rî : 

 ainsi on aura des deux parts A (72+72') = A /2+ A 72' (C), «^(72-1-72') 



=cr/2-4-cr/2'(D). 



Ainsi on est conduit au résultat suivant : 



((5)) Toutes les fois que Von fait un pas dans la spire par n 

 et que, partant de n, on fait un autre pas dans la spire par t?', 

 on arrive alors à l'insertion n-k-n ; son nombre encyclique sera 

 la somme de ceux des insertions n et 72', et sa divergence secon- 

 daire sera la somme de celles relatives aux mêmes insertions , 

 prises avec les signes qui leur conviennent. 



Si nous nous élevons successivement des insertions tz et 72' à 

 l'insertion 72+22' que je nommerai 72", de 72' et 72" à n-\-n"=:n"\ 

 et ainsi de suite, les nombres successifs 72, 72', 72", 72'"... , forme- 

 ront une .«fe-We que les géomètres nomment série récurrente du 

 second ordre; les nombres encycliques Atz, A72', Atz", Atz'"..., for- 

 meront une série récurrente toute pareille , où chaque terme sera 

 la somme des deux précèdent; enfin il en sera de même des di- 

 vergences secondairessuccessives 5/2 , 8n\ $n", etc., pourvu qu'on 



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