( 29) 
finité de trajectoires orthogonales ; donc les équations simultanées ( 2) sont 
toujours intégrables. Si | 
£) S (2y, 3) =a, fiers) =B 
~en sont les intégrales, celles-ci représentent toutes les trajectoires cher- 
chées, et l'équation 
(4) Jar 2) =? [Ji (2,7, 2)] 
représente toutes les surfaces X, ọ étant une fonction arbitraire (*). 
» II. PROBLÈME. — 1° Reconnaitre si les surfaces S, représentées par l'équa- 
tion (1), appartiennent à un système orthogonal triple ; 2° trouver, si elles exis- 
tent, les surfaces 3,, Z, qui, avec les surfaces S, constituent ce système. 
Attribuons à la fonction ọ deux formes particulières, 4 et x : si les sur- 
faces correspondantes sont orthogonales, le problème sera résolu. La con- 
dition d’orthogonalité est 
REPORT PCT 
- Aae 
“a n cette équation, - 
Y= pif yz] = pBh a'=# [fi (x, 7, z)] = r'(B). 
» En chaque point des lignes de courbure de S, déterminées par les 
surfaces 5, on a 
Fr z) =E) fi (xyz) = 8. 
« Si donc, entre les équations (3) et (5), on élimine deux des trois va- 
» riables x, y, z, l'équation résultante devra être identique. En exprimant 
» les conditions nécessaires pour que la troisième variable disparaisse 
» ainsi en même temps que les deux autres, on obtiendra deux spoin 
» différentielles entre 4, z et B (*).» 
II. PROBLÈME, — Quelles doivent étre la forme d’une fonction F(a,b,x) 
el les valeurs des paramètres a, b, pour que l’on ait identiquement 
F(a, b, x) =o (7)? 
(*) De là rise: que si, comme on l’a supposé, P dx + Q dy + R dz = o est HE 
ri priok de l'équation Pp + Qq —R équivaut à la solution du problème proposé. 
(**) Mémoire cité. J'ai conclu de cette méthode divers systèmes orthogonaux. 
(***) Si l'on remplace a, b, x par x, y, z, le problème peut être énoncé ainsi : Trouver 
l'équation des surfaces qui contiennent des droites parallèles à l'axe Oz. 
