` ( 30) 
» 1° La fonction F, nulle quelles que soient les valeurs attribuées à x, 
doit, en particulier, être nulle pour x = o. Ainsi déjà les paramètres satis- 
font à la condition 
F(a, b, o)= 0. 
» 2° Soit y = F (a, b, x) — F (a, b, o). Cette fonction y, identiquement 
nulle pour x = o, doit être toujours nulle, c’est-à-dire constante. Comme le 
premier terme est variable et le second terme constant, la condition impo- 
sée est absurde, à moins que y ait la forme o(a, b)X, X s'annulant 
avec x (*), et que les paramètres vérifient l'équation o (a, b) = o. 
» 3° De F(a, b, x) — F(a, b, 0) = ọ (a, b) X, on conclut que 
F (a,b rmn A ir 
les quantités A, À étant indépendantes de x, et la Jonction X sannulant avec x. 
» En outre, les valeurs des paramètres sont données par les équations 
A0; -1=0. | 
» IV. Reprenons maintenant les équations (3) et (4). Supposons, comme 
précédemment, que les valeurs de x, y, tirées des deux premières, soient 
substituées dans la troisième. Si Le système orthogonal existe, on devra pouvoir 
disposer des fonctions 4, x, de manière à faire disparaître z. D’après le dernier 
paragraphe, le résultat de la substitution a la forme A + 1Z. Et comme les 
quantités y’ -+ r', dr sont indépendantes de z, on a, séparément, 
a L'ART A T 
(6) 
| N AEN [df\? 
Ce) (g) (E) Sce. 
» Nous croyons donc pouvoir énoncer ce théorème : | 
» Soient f(x, Y, z)=«, f(x, y, 2) =B les équations d’une infinité de 
lignes, trajectoires orthogonales des surfaces S représentées par F(x, y, z) = c. 
Pour que ces surfaces puissent faire partie d’un système orthogonal triple, les 
À ; m a : E 
dérivées partielles i Lyn doivent, après l'élimination de x, J, satisfaire 
aux équations (6), A, B, C, à, p, y étant indépendantes de z, et Z s'annulant 
avec z (**). | 
La fonction X peut contenir a et b. 
Quand léquation donnée a la forme X Y + Z = c, considérée autrefois par 
