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» V. Au moyen des valeurs > E (5) devient 
(A +22) — (B + pZ) (p + r) + (C +Z) y' r = 0. 
* » Cette équalion de condition, devant avoir lieu quel que soit z, se dé- 
| compose en- 
A—B(Y#+r)+Cÿr'=0o, À—p(y r) y= o. 
’ 
Par conséquent, d’et 7’ sont les deux valeurs de D satisfaisant à l'équation 
(7) (Br — Cu) dx? + (C) — Ay)dadB + (Ap — B1)d£? = 0, 
du premier ordre et du second degré. Une équation du premier ordre ayant 
toujours une intégrale, il s'ensuit que : si les conditions (6) sont remplies, il 
existe deux séries de surfaces Z,, Z, formant, avec la surface S, un système tri- 
plement orthogonal. Les conditions (6), nécessaires, sont donc suffisantes (*). 
» VI. Application : 
RE a 
(e®+et)(#+e*)= csinz. 
» Lise équations des trajectoires sont, comme on le trouve aisément, | 
3) B pT a eE AE 
Il en résulte 
WATT 
(Hg BG = (4 + a?) (1+ tang? z)= À + ÀZ, 
df af... Sf df df. 
dz de: dy dj ` dz dz 
(2) +($) + (E) = (4 + F) (i+ tangt2) = C +Z; 
A= Atat, ia C=4+ p, À= 4 +0, at 2: »=p+i 
= aftangs = B+ uZ, 
M. Serret (ournat a de Liouville, t. xn) les relations (6) assez Sr E aux 
conditions 
X'X"=—2{(X"— a) cr b Y'Y”=2{Y"— a)(Y"—b}), VA aie a)(Z"— b), 
trouvées par M. Serret. 
E] Depuis le mois d'août 1872, je suis en possession de ces résultats. Aujourd’hui, de 
même qu’à cette époque, ils me semblent presque paradoxaux, et je n'ose encore 
comme un illustre astronome : « Je croyais rêver et faire Eee Pers de Re 
c’est une chose très-certaine et M ». 
