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équations de chaque système, les trois conditions suivantes : 
OU —0, Oz U, = 0, Oo: U2 = 0, 
c'est-à-dire 
SC" 1.02.&:0" DOL 
1 D I0 1" OL, 
r a e pEE  :e 
d’où, en multipliant ces équations, et en chassant le facteur commun 
, p q ; 
12.20.01, l'on tire 
TAS E Le E 571o a N A RR ag a : > 
condition qui doit être satisfaite pour qu’il soit possible de faire passer par 
les points P, P,, P,, une surface quadrique qui touche U dans ces points. 
Si le contact a lieu pour un quatrième point P,, nous aurons encore une 
condition de la même forme. En apparence, on trouverait quatre de ces 
conditions, c’est-à-dire une pour chacun des groupes P,, P,, P,; P,P,,P;; 
P, P,;Ps; P,P., Pa; mais il n’en reste que deux qui sont indépendantes, 
parce que, au moyen de réductions, on peut de deux quelconques déduire 
les deux autres. Dans la Note ci-dessus signalée, j’ai indiqué les principaux 
résultats géométriques des conditions dont il s’agit. En effet, on peut re- 
garder l'équation (11) ou comme une relation entre les coordonnées des 
points P,P,,P,;, ou comme une relation entre les coefficients de la sur- 
face U. Dans le premier cas, la surface et deux des points étant pris ar- 
bitrairement, le troisième point se trouvera sur une courbe [dont les 
équations seront U = o, et (12) tracée sur la surface |. Dans le second cas, 
on peut prendre arbitrairement les trois points, et l’on aura entre les coef- 
ficients de U les quatre conditions, c’est-à-dire o” = o, 2" = o et (12). Pour 
un contact en quatre points, on aura de plus une condition 3” = o, et 
une seconde de la même forme que (12); et ainsi de suite pour d’autres 
points. On en conclut que : : | 
» Par trois, quatre, points de l’espace quelconques on peut faire 
passer trois, neuf, surfaces ayant dans leurs équations quatre, dix,:.. 
constantes indépendantes, telles qu’on peut décrire une quadrique qui 
touche une quelconque de ces surfaces en trois, quatre... points. 
» Pour chercher les résultats d’osculation en plusieurs points, dévelop- 
pons la formule g2, U : > eo o 
QU 502) — 2,01.02:0"%-? 12 + (a o"72 2? 
— 02.0""2.1* + (02.0"-!1 + o1.0"-!a) 12 — o1.0%-t1, 2° ; 
