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de points, elle forme un implexe (9— 0, p = m); comme enveloppe de 
plans, un implexe (6 — n, o = o): Ce lien entre les surfaces algébriques et 
les implexes est un fait assez remarquable : il permet de déduire immédia- 
tement certaines propriétés des surfaces algébriques, de propriétés plus 
générales relatives aux implexes. On peut dire que dans ces derniers les 
surfaces-algébriques ou transcendantes remplissent le rôle d'éléments, qui 
appartient soit au point, soit au plan dans les surfaces algébriques. À ce 
point de vue, analogue à celni où s’est placé Plücker, la théorie des im- 
plexes constitue une nouvelle Géométrie de l’espace, qui possède un 
domaine beaucoup plus vaste que la Géométrie dans laquelle le point et 
le plan jouent le rôle d’éléments, et qui comprend cette dernière comme 
cas particulier. 
» La théorie des congruences de droites se rattache aussi d’une manière 
intime à la théorie des implexes. Considérons en effet une congruence 
(3, ©) telle que par un point quelconque de l’espace il passe ô droites de 
cette congruence, et qu’il y en ait ọ situées dans un plan quelconque. 
Toutes ces droites, groupées suivant une certaine loi, d’ailleurs quel- 
conque, peuvent se résoudre, d’une infinité de manières, en un ensemble de 
surfaces gauches. Celles de ces surfaces qui passent par un point arbitrai- 
rement choisi contiennent @ droites de la congruence, qui forment en- 
semble le cône enveloppe des plans tangents à ces surfaces au point con- 
sidéré. Les surfaces gauches tangentes à un plan arbitrairement choisi 
contiennent droites de la congruence, qui forment ensemble le lieu des 
points de contact de ces surfaces avec le plan en question. Les surfaces 
gauches résultant de la congruence constituent par suite, dans leur en- 
semble, un implexe (8, œ).(*). 
» Les surfaces de révolution autour d’un même axe tie un implexe 
(9 = 1, o— 1). Les sphères ayant leur centre sur cet axe forment un des 
implexes partiels correspondants. Plus généralement, les sphères ayant leur 
centre sur une courbe de degré r, plane ou gauche, forment par leur réu- 
nion un implexe partiel (0 =r, ọ = r). L'implexe complet comprend 
l’ensemble des surfaces enveloppes de ces sphères. L'étude de ce genre 
d’implexes conduit à d’assez nombreuses propriétés sur les normales. 
» Les surfaces hélicoïdales de même axe et de même pas composent 
— 
(+ ; z = i PE La Ca . s ; r ; 
(") Les mêmes considérations s’appliqueraient, d'une manière plus générale, à un en- 
semble de courbes dont 8 ses cs un point ea et dont » mr un 
plan quelconque, s 
C. R., 1874, 2° Semestre. (T. LXXIX, N° 7.) 6r 
