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congruences, et passant par ce point, soient situées dans un même plan, est une 
surface d'ordre égal à (680 + 0'9" +0"0g' +0 @'o"). 
» XVI (corrélatif de XV). — Étant données trois congruences de droites 
(8,9), (8,9), (0 p") l'enveloppe d’un plan tel, que trois des droites appar- 
tenant respectivement aux trois congruences, el contenues dans ce plan > passent 
par un méme point, est une surface de classe (p9'o"+ 9'9" + g" 97+ ggi"). 
» Laissons dans XI à l’implexe (0, ọ) toute sa généralité, et particulari- 
sons les deux autres, en les supposant formés de sphères, ayant leurs cen- 
tres, les unes sur une courbe (plane ou gauche), d’ordre p, C,, les autres 
sur une courbe d'ordre q, C}. On a alors =" =p, = p = q;, et l'on 
obtient immédiatement le théorème suivant. 
» XVII. — Le lieu des pieds des normales aux surfaces d'un implexe (0, 9), 
qui s'appuient sur deux courbes, planes ou gauches, Cp et C;, de degrés respec- 
tivement égaux à p et à q, est une surface d'ordre pq (36 + ọ). Cette surface 
a pg@ nappes se croisant suivant l'ombilicale (*), 0g nappes passant par Cp, 
et Op nappes passant par Gg. 
» En particulier : 
» XVIII. — Le lieu des pieds des normales aux surfaces d'un implexe (8, ®), 
qui s'appuient sur deux droites D et D’ non situées dans un méme plan, est une 
surface d’ordre (30 + +). Cette surface a 0 nappes se croisant suivant l’ombi- 
licale, et @ nappes se croisant suivant chacune des droites D et D’. 
» Lorsque D et D’ sont dans un même plan, le lieu comprend 0 fois ce 
plan. En le laissant de côté, on a ce théorème : 
» XIX. — Le lieu des pieds des normales, abaissées d'un même point O, sur 
les surfaces d’un implexe (9, ©), est une surface d'ordre (29 + ọ), dont nappes 
se croisent suivant l’ombilicale, et qui possède en O un point conique d'ordre 0. 
» Le théorème XVII, malgré sa grande généralité, peut être considéré 
comme un corollaire du suivant. 
» XX. — Le lieu des pieds des droites d'une congruence (8,9) normales 
aux surfaces d’un implexe (9, ©), est une surface d'ordre (200 + 6° + ge) 
» Cette surface a 09° nappes se croisant suivant l’ombilicale, à nappes se 
croisant suivant chacune des o' droites de la congruence situées à l'infini, et 9° 
nappes se croisant suivant la courbe de contact des surfaces de l’implexe, avec le 
plan de l'infini. : aoa 
e on a e 
(*) Dénomination employée par M. Laguerre, pour désigner la conique imaginaire 2d 
linfini, commune à toutes les sphères. ( Bulletin de la Société Philomathique, t. IV, p- 52-) 
