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équation (4) qui, se réduisant à — ià (S T 
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et si / fait partied’un solénoïde fermé L, le sixième principe donnera f, = 0, 
ou fı + 1-1 = 03 et, comme on peut déformer Z sans déformer L — l, on 
voit que f; reste fixe dans cette déformation, pourvu qu’on ne change ni la 
)B ðC SO n ea 7 
dy FEI dx A dx 
longueur dl ni les extrémités de l. Donc — ( 
est la différentielle totale d’une fonction f(x, y, 2). Parmi les trois équa- 
tions différentielles qui en résultent, il suffit d'écrire les deux suivantes : 
(5) Pede: o anA 
dr? dz? T rt 
n EE 
6 LE piii à 
) dx (5$ dz ) 9, 
dont la second intégrale © — 2 — z). Mais du huitième prin- 
e a pour intégrale = — =? U> M: p 
H . é = . . . » ðB 
cipe, appliqué à l'expression (4), qui pour 8 = 1 devient ià > on conclut 
dB > . . 4 LE . 
que — est infiniment petite à l'infini. Donc, pour des valeurs fixes et ar- 
bitraire sie ` io à . F A 
s de y et de z, ọ (y, z), étant à la fois infiniment petite avec = et 
indépendante de x, est nulle, et l’on a, en tout point (x, y, 2) extérieur à M, 
)C 3B DA E T 
dz dx 
= 0 
oo à z 
Pe A , 
équations dont les deux dernières se démontrent comme la première, et qui 
prouvent l'existence, en dehors de M, d’une fonction V de x, y et z, ayant 
pour dérivées partielles A, B et C, ce qui démontre que les formules (3) 
sont réductibles à la forme (1). 
» Pour établir l'équation (2), remplaçons 
,r . d : z C zy 
l'équation (5) devient x (S + a an 
l'axe des z est ici arbitraire, le premier membre de l'équation (2) a, en 
dehors de M » une valeur constante, et par suite nulle si elle est infiniment 
petite à l'infini. Or c’est ce qui résulte du huitième principe appliqué à 
dG 
dz 
dB 
dy dz 
VC dV 
par y’ et G par zz? 
) = 0, et, comme la direction de 
) pour g =1, démontre 
| IR IG à ; Saa A 
que la valeur de i zz est infiniment petite à l'infini, ainsi que la demi- 
y . p , x dA Vy 
Somme de cette expression et des deux autres analogues, et l'excès = =, 
oy dx 
de celte demi-somme sur la première. On démontrera pareillement que 
V d2V » S i ` , . 
J €! zp Jouissent de la même propriété, d’où résulte équation (2). 
