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ANALYSE. — Sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines 
sont réelles. Note de M. Lacuenre, présentée par M. Resal. 
« 1. Étant données deux quantités réelles quelconques A et B, j 'appellerai 
intervalle AB l'ensemble des valeurs que prend une quantité variable par- 
tant de la valeur initiale A et acquérant, après avoir crů constamment, la 
valeur finale B. En représentant À et B par deux points d’un axe fixe, ayant 
respectivement ces quantités pour abscisses, on voit que, si À est phis grand 
que B, l'intervalle AB renferme le point situé à l'infini. 
» Je désignerai aussi par cercle AB la portion du plan limitée à à la cir- 
conférence décrite sur AB comme diamètre et renfermant l'intervalle AB; 
en sorte que, si À est plus grand que B, le cercle AB s'étendra à linfini. 
» Enfin je dirai que deux quantités A et B limitent les racines d’une 
équation, lorsque, des deux intervalles AB et BA, l’un renferme toutes 
les racines réelles de l’équation, tandis que l’autre n’en renferme aucune; 
qu’elles les séparent, lorsque chacun de ces intervalles enferme au moins 
une racine réelle de l'équation. 
» 2, Cela posé, considérons une équation du degré z 
(1) ; Fiw y) SoN 
ayant toutes ses racines réelles; en désignant par H son hessien et en repre- 
sentant, pour abréger, n? (n — 1) H par — A, on sait que A restera toujours 
positif, quelle que soit la valeur de la variable, et l’on pourra énoncer les 
propositions suivantes : 
» THÉORÈME I. — Quelle que soit la valeur réelle attribuée à la taie ë, si 
deux quantités réelles x et x’ satisfont à la relation 
d 
(2) t — rË)(x'n — TEA + (EST z) E T F=? 
ces deux quantités séparent les racines de l'équation (1). 
» THÉORÈME II. — Étant données deux quantités quelconques x el x, ces 
deux quantités limitent ou séparent les racines de l'équation (1), suivant que 
l'équation (2), en y considérant £ comme l’inconnue, a toutes ses racines ima- 
ginaires ou bien a des racines réelles. 
» 3. Le théorème I past être mis sous une autre forme plus commode dans 
ni Lie SOA 
ut La variable J, que j'introduis ici, pour l'homogénéité des formules, est égale à V unité 
ainsi que les variables analogues y et n. 
