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» Ces recherches nous avaient amené à reconnaître qu’il n'existe aucun 
groupe de la classe 9. Il nous a paru intéressant de nous assurer si ce ré- 
sultat singulier était un fait isolé, ou si, au contraire, il existe d’autres 
classes ne renfermant aucun groupe. 
» Notre nouvelle étude a porté sur les classes 25 et 49. Elle a montré 
que ces classes ne contiennent aucun groupe. Des calculs analogues, com- 
mencés sur la classe 21, paraissent conduire à la même conclusion. 
» D'après ces résultats, il semble probable que la plupart des classes 
dont le degré est un nombre composé impair ne contiennent aucun groupe. 
Au contraire, il est facile de s'assurer que les chasses de degré pair en con- 
tiennent toujours. 
» II. M. Émile Mathieu a publié l’année dernière, dans le Journal de 
M. Liouville, une méthode remarquable pour déterminer, par des calculs 
d’une longueur relativement modérée, tous les groupes transitifs dont Je 
degré est un nombre premier p, de la forme 2q + 1,g étant lui-même un 
nombre premier. Cette méthode, appliquée par l’auteur aux nombres 11 
et 23, l’a conduit, par une voie aussi simple que directe, à la découverte 
de deux groupes cinq fois transitifs, des degrés 12 et 24. 
» M. Mathieu paraît considérer l'existence de ces groupes si remarqua- 
bles comme due à cette circonstance, que 11 et 23 sont premiers, et de la 
forme 2q + 1. Il nous a semblé important de nous assurer si celte induc- 
tion était fondée; car, si elle l’avait été, on aurait obtenu des résultats 
analogues à ceux de M. Mathieu, et non moins intéressants, en appliquant 
sa méthode à d’autres nombres premiers de cette même forme 2q + 1: 
» Les deux premiers nombres de cette forme qui se présentent après 
23 sont 47 et 59. C'est sur eux qu’ont porté nos recherches; mais les ré- 
sultats qu'elles nous ont donnés ont été négatifs. Nous avons, en effet, 
trouvé qu’il n'existe aucun groupe transitif de degré 47 ou 59, en dehors 
de ceux qui sont contenus dans le groupe linéaire. Il en faut conclure que 
les groupes cinq fois transitifs de degré 12 et 24 sont dus à des causes plus 
cachées et plus exceptionnelles qu’on ne Pavait supposé au premier abord. 
» Nous avons enfin reconnu qu’il n'existe aucun groupe transitif de 
degré 19, en dehors de ceux qui sont contenus dans le groupe linéaire. 
M. Mathieu avait déjà indiqué ce résultat comme très-probable, d'après les 
essais auxquels il s'était livré. | 
» Les calculs qui nous ont conduit à ces résultats seraient trop longs à 
exposer ici. Nous nous bornerons à quelques indications générales sur la 
marche que nous avons suivie. 
