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» Il donne tout d’abord au système un déplacement virtuel arbitraire, 
mais infiniment petit, et évalue le travail développé, en fonction des varia- 
bles indépendantes qui déterminent la nouvelle position du système. Cette 
expression sera généralement, aux infiniment petits près du troisième 
ordre, une fonction quadratique T de ces variables. Si cette fonction est 
négative, la stabilité sera assurée, car l’équation des forces vives fournit 
sans peine une limite à l'amplitude des oscillations que le système pourra 
effectuer autour de sa position d'équilibre. 
Cette conséquence subsiste d’ailleurs, comme l’a montré Dirichlet, 
dans les cas singuliers où la fonction qui exprime le travail cesserait d’être 
quadratique. Il suffit qu’elle soit essentiellement négative. 
» Pour établir que cette condition suffisante est en même temps néces- 
saire, Lagrange forme les équations différentielles qui doivent régir les os- 
cillations du système, supposées infiniment petites. En thèse générale, ces 
équations seront linéaires à coefficients constants, et l’on démontre que, 
si T est positive ou indifférente, leurs intégrales contiendront des exponen- 
tielles croissant indéfiniment avec le temps. 
» L'hypothèse faite, que les oscillations restent infiniment petites, est 
donc inadmissible, comme conduisant à une contradiction. 
La méthode que nous venons de rappeler n’est pas universellement 
applicable. Il existe notamment un cas important où elle ne saurait être 
employée sans un nouvel examen: c’est celui où le système présente, non 
plus une position d'équilibre isolée, mais une infinité de semblables posi- 
tions, se succédant d’une manière continue. Dans ce cas, l'équilibre est en 
partie indifférent, et l’on dira qu’il est stable si dans toute la durée de ses 
oscillations le système reste toujours infiniment voisin de l’une de ces 
positions d'équilibre, lors même qu’il s’écarterait se de sa posi- 
tion initiale. 
» On voit dans ce cas que, parmi les variables qui définissent la position 
du système à chaque instant, quelques-unes devront rester infiniment 
petites; mais les autres pourront prendre des valeurs quelconques. Far 
suite, l expression du travail ne pourra être considérée comme se réduisant 
sensiblement à une fonction quadratique relativement à cette seconde 
espèce de variables. D'autre part, les équations différentielles qui régissent 
les petites oscillations pourront cesser d’être linéaires et à coefficients 
constants. 
» Parmi les exemples de ce genre, on peut citer celui d’un solide pesant 
reposant sur un appui fixe. En effet, son équilibre n’est pas troublé parure 
