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relations analytiques qui existent entre ces éléments. Je me propose de dé- 
terminer directement ces relations sans avoir recours à ce paraboloïde. 
J'aurai ainsi l’occasion de faire connaître quelques théorèmes nouveaux. 
» Soient toujours (S) la surface donnée, a un point de cette surface et A 
la normale en ce point. 
» Appelons à et c les centres. de courbure principaux de (S) situés 
sur À. Désignons par (B) et (C) les nappes de la développée de (S); la 
nappe (B) contient le point b, et la nappe (C) contient le point c. 
» À partir des points b et c menons les normales B et C aux nappes (B) 
et (C). 
» J'ai déjà souvent employé ces droites B et C. Dans mes Recherches 
géométriques sur le contact de troisième ordre de deux surfaces (Comptes rendus, 
18 mars 1872), je disais : 
« Ces deux droites B et C constituent pour moi, dans l’espace, un élément analogue at 
centre de courbure d’une courbe plane. Leur connaissance suffit pour étudier ce qui est 
relatif à la courbure de (S) au point a, comme je l'ai montré dans ma Communication du 
26 février 1872. » 
» D’après cela, je propose d’appeler ces droites droites de courbure. 
» Au point a de la surface (S) correspondent les droites de courbure B 
et C; de même les nappes (B) et (C) ont leurs droites de courbure. 
» Ce que nous allons déterminer, ce sont les relations qui existent entre 
les éléments qui fixent la position de ces dernières droites de courbure. 
» À partir de a sur (S) traçons les lignes de courbure de cette surface ; 
en prenant ces lignes comme directrices de normalies à (S), nous obtenons 
deux normalies développables. 
» Ces normalies sont circonscrites aux nappes de la développée de (S); 
Considérons en particulier celle qui est circonscrite à (C) et dont b est un 
point de l’arête de rebroussement. 
» Cette normalie est osculatrice en c au cylindre circonscrit à (C), 
dont les génératrices sont parallèles à A. Il résulte de là que le plan mené 
à partir de c perpendiculairement à A coupe ces deux surfaces, la normalié 
etle cylindre, suivant des courbes osculatrices. 
» Le centre de courbure commun à ces deux courbes ést au point dé 
rencontre ¿ de la droite C et de laxe de courbure A” de la normale déve- 
loppable. Cette droite A” n’est autre que laxe de courbure de la ligne de 
courbure de (S) directrice de cette normalie, 
» La section faite dans le cylindre est la courbe de contour apparent; 
C. R., 1874, 2° Semestre, (T, LXXIX, N° 25.) 172 
