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montrer qu’il en sera toujours ainsi, conformément au théorème de Jacobi, 
etil renvoie, pour la démonstration, à une Note insérée dans le tome X des 
Comptes rendus (p. 594). Or, dans cette Note, Cauchy emploie des considé- 
rations toutes différentes de celles qu’il a employées dans le Mémoire 
cité. Ne pourrait-on pas obtenir le même résultat sans changer de mé- 
thode? En cherchant à résoudre cette question, je suis parvenu à une solu- 
tion affirmative. L'avantage d'obtenir directement le théorème de Jacobi 
n’est pas le seul qui recommande cette solution à l'attention des géomè- 
tres; on y trouvera de plus les relations simples qui rattachent les coeffi- 
cients de la fonction R,,, de Cauchy, tant avec la solution de l'équation 
4p = L? + 27M? qu'avec les nombres n, n', n”, qui expriment les nom- 
bres de solutions de certaines congruences dont la considération est utile 
dans la théorie des résidus cubiques, et dont M. Lebesgue s’est occupé 
dans son Mémoire sur les lois de réciprocité. 
» Désignons par £ une racine primitive de la congruence x?-'=—=1(mod.p); 
par f une racine primitive de l'équation x° — 1 = 0; soit £ = r(mod. p); 
r sera une racine primitive de la congruence x° — 1 = 0 (mod. p). 
» La fonction de Cauchy R,, est égale à > ps = do + A, p + Aa 0°, 
a; désignant le nombre des termes de la suite 
2,6,...s(s+1),...,(p — 2)(p — 1), 
dont les indices sont de la forme 3/7 + i, ou, si l’on veut, qui sont congrus 
suivant le module p, à des puissances de £ dont les exposants sont de la 
forme 37 + i. 
» Il résulte des formules de Cauchy que les coefficients ao, Ai, &: sont 
déterminés par les trois relations 
(1) ooo a + a,r + a,r? =0(mod. p), 
a + a,r? + air — H(mod.p) 
ERIC LA 25, De plus, 
2e. D 
IT désignant le coefficient binomial 
P=R, Rya = (a, + 4, p + åp?) (a0 Ha, p + Ap) 
z ( ~ ne. = 2) + (+): 
(2) 4p = (aaj = aji a, + 3(a, —- Ai- 
Or la somme des deux dernières relations (1) donne 
243 — A, — a, = — M (niod. PI: 
