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d'un autre côté, le théorème de Jacobi nous apprend que le nombre L, 
propre à vérifier l'équation 4p = L? + 27M°, est déterminé par la con- 
gruence L= — II; on a donc 24, — a, — a, —L(mod.p). Mais les deux 
nombres (24, — a, — a,;) et L sont tous deux compris entre — $p et 
+ 4p; on a donc 24a,—a, —a,=L; et , par conséquent, 3(a, —a:) =27M?, 
` ce qui exige que la différence a, — a, soit divisible par 3. Mais, au lieu de 
supposer le théorème de Jacobi, nous allons démontrer directement que la 
différence a, — A, est toujours un multiple de 3, et nous en déduirons le 
théorème de Jacobi. 
» Désignons par z, n', n” les nombres des termes de la suite 
(1) IH It, 1409, 1 HP, 
dont les indices sont compris respectivement dans les formules 3/, 3/+1, 
$1+ 2; désignons ensuite par n,, n',, n°, et par na n,, n, ce que de- 
viennent les nombres n, n', n”, quand à la suite (I) on substitue la suite 
(I1) TFG LEB; EE T RI 
ou la suite i 
(I) RE en 20 CR E PP di Verte 
» Comme — ı est résidu cubique, les nombres z, n’, n” sont les nom- 
bres de solutions des trois congruences 1 + LE HVE=O, 144 tHo, 
I+ EF 4% 0 (mod. p), où les nombres x et y doivent être pris dans 
la suite o, 1, 2, 3,..., IE — 1; ou encore, en désignant par &, &',... les rési- 
dus Cubiques. par B, P's.. et y, y,... les non-résidus de première et de 
seconde classe, les nombres n, n’, n” expriment les nombres de solutions 
des trois congruences 
(a) 1+a+x=0o, (b)i+a+B—o, (c) 1+a+7y=—=o(mod.p). 
» De méme, Mı, Ny, M, et n:, N, et x, sont les nombres de solutions 
de congruences 
(a') 1+B+ao—=o, (b) 1+8+8—=0o, (c) 1+ F V0, 
(æ) ry tasmo, (8) 1+y+8=o, (c) 1+y+y=o(mod. p). 
» On voit immédiatement que. les congruences (a’) et (b) ne diffèrent 
que par l’ordre des termes, ainsi que (a”) et (c), (2”) et (c’); on a donc 
ni =n, n, =h", n, =n. De plus, si Von fait correspondre à chaque 
valeur dè 8 un nombre y déterminé par la congruence y = 1 (mod. p), 
et qu'on multiplie les deux congruences (b) et (2’) par y, on obtient res- 
Pectivement V+9+1=0, y +1+a—o; car le produit d’un nombre y 
| CR, 1894, 26 Semenre, (T. LXXIX, N°24)  , 182 
