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ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur la première méthode donnée par Jacobi, 
pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre ; 
par M. G. DBansoux: 
(Commissaires : MM. Bertrand et Bonnet.) 
« Dans ses premiers travaux sur le théorème d’Hamilton, Jacobi a été 
conduit à une méthode d'intégration des équations aux dérivées partielles 
du premier ordre qui s'appuie sur le théorème suivant : 
» Étant donnée l’équation aux dérivées partielles 
INR à UE VASE à = 
(1) Ta LL PAU SRE ne tenth 
dV . . r ` d 
remplaçons 5g, PAT Pi dans la fonction H et intégrons le systeme des 
2n équations aux dérivées ordinaires 
dqi _ dH dp: dH 3 
(2) oon p e a jeri 
c'est-à-dire exprimons les variables p;, q; en fonction de £ que nous sup- 
poserons être le temps, et des valeurs initiales p?, q? de pi, q; à l’époque 
t = o. Calculons ensuite l'intégrale 
(3) v= f (pf CE T eepos “hé HR. )de. 
Le calcul présentera V comme une fonction de ż et des 27 constantes 
p° ge; mais des n formules qui font connaître q,, q2,...; Jn» ON peut tirer 
Pr Ps. p° en fonction de gu 2. Qn3 Tat Qar--.r.Anr Ets PAT suite, ra- 
mener V à ne plus contenir que les an + 1 variables 
R Qu ass Qns QU Jose. Qne 
La fonction V ainsi obtenue sera une intégrale, contenant évidemment 
n constantes arbitraires q9, g%,..., q? de l'équation aux dérivées partielles 
proposée. De plus, les intégrales générales du système des équations (2) 
pourront se mettre sous la forme 
dV dV 
(4) ' 1o fo SERRE 2 1,2, D... 7 
» Voici comment Jacobi démontre ce beau théorème. Imaginons ques 
dans la formule (3), on fasse varier infiniment peu les valeurs des con- 
