Sviluppo delle differenze finite 



osservando le (5), (6), (7), (8), per induzione possiamo scrivere la 

 formola generale : 



l i x — k •+• 1 1 x — k i 2 1 \ 



a;((.x— lc+2)l (A;+l)2! (a?— *-H)!\A3! k2\ ' 



x — k — 1 



3 



{x - Jfe) ! \ (/<' + 1) 4! ''"" _ u (A: + 1 ) 3! 



ttt m, t _ w 



(FTT)2! ms - 1 - 8 ) 



; 



dove, come mostra la (9), m K _ l>i , m k _ LÌ , sono i fai tori nume- 

 rici del coefficiente precedente H, i _ i e poi dalla (5) si vede che : 



(11) 



TO M = 1, 



uh, 2 = mj, 3 



0. 



Quindi il calcolo dei coefficienti della (3) può farsi mediante 

 la formola generale (4), ed i numeri TI sono dati dalla (10), tenendo 

 presenti le (11). Si noti che il calcolo di un numero //,,, dipende 

 dal precedente H,.^ ma ciò non nuoce alla genaralità delle forino- 

 le, giacché trattasi di numeri relativi allo stesso coefficiente A {x } n) 

 che si cerca. 



Qualunque sia n il valore di H K si limita sempre poiché x è 

 intero e positivo. 



Esempio : Sia n = 4, allora : 



Ih == 5! 



2 4U!2!3!3!2!4M ti! 



//. = I \ì ii,l(li J_ M) 105 

 8 4 ( 3 ! 2.2! 212! \3.3! " 2 ! 3.2! ' 3 IM ~" 7 ! 



H, 



11 1 1 1 _ 105 



4 ' 2!" 3.2!* 2^2!' 2! ~ : TT 



quindi : 



A (4>fl) = " + 25 ^ZH + 105 n(n 1)( ^1 + 105 »(a-D(»-2)(»-P 

 ' 5! (>! 7 ! 8 ! 



che è il valore noto. 



