Sulla teoria della eliminazione fra due equazioni 



Per maggiore chiarezza riporteremo prima dalla citata memo- 

 ria le notazioni e gli enunciati dei teoremi di cui più spesso do- 

 vremo far uso. 



1. Indicheremo con [in, n] una matrice di m orizzontali e n 

 verticali. 



2. Chiameremo caratteristica di una matrice il più alto grado 

 di determinanti minori non nulli contenuti nella matrice. 



Per es. , se k è un numero tale che, non sia nullo almeno 

 un determinante di ordine k contenuto nella matrice [m, n] , ma 

 siano nulli tutti i determinanti di ordine superiore a k , questo nu- 

 mero k sarà la caratteristica della matrice [m, n], 



3. Se la caratteristica h della matrice [m, n] è minore del mi- 

 nore dei due numeri m, n, diremo che la matrice [ni, ri] è uguale 

 a zero, e scriveremo [m, n] = 0. 



Supponendo m non superiore a n, se è k = m — 1 , diremo 

 che la matrice [m, n\ è semplicemente uguale a zero o semplicemen- 

 te nulla. 



4. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice 

 sia nulla è che fra gli elementi delle sue linee parallele esista una 

 stessa relazione lineare a coefficienti non tutti nulli. 



5. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una matri- 

 de [m, n] sia semplicemente nulla è che siano nulli soltanto n — m + 1 

 determinanti di ordine m contenuti nella matrice, tutti questi de- 

 derminanti contengono uno stesso minore non nullo di ordine m — l. 



6. La condizione necessaria e sufficiente affinchè m equazioni 

 lineari omogenee a n incognite siano simultanee (1) è che la carat- 

 teristica k della matrice [m, n] formata con i coefficienti sia mino- 

 re del numero n delle incognite. Nel caso che le equazioni siano 

 simultanee, potranno assegnarsi valori arbitrari a k incognite scelte 

 convenientemente, ed esisterà poi sempre almeno una soluzione nella 



(1) .Noi chiamiamo simultanee duo o più equazioni lineari omogenee quando possono essere 

 soddisfatte per valori non tutti nulli dello incognite. 



