Sulla teoria della eliminazione fra due equazioni 



9. Questa condizione è sufficiente. Infatti, supponiamo intanto 

 che sia 



(ciò ai . . a m )a —p j i 

 (6 Ih ■ ■ 6«)m-p+i 



= 0. 



Per l'art. 4 si avranno le seguenti m + n — p + 1 identità, 

 corrispondenti agli elementi di ciascuna colonna : 



00 T + Or, 4 . . + Or, ,_,,, + b% Po .•+• pi +• . . + 0p m -p = 



0i t 4- «l'i ■+■..-+- Ot„_jo + 6i pn 4 &o/>i + • • + O.o,,,-/, = 



r 4- r, 4- . . + «„,-,-/, 4- 0p + Oc, + . . + bnp m - p — , 



dove le t e le p sono costanti non tutte nulle. Anzi , in questo 

 caso, una almeno delle v e una almeno delle p devono essere di- 

 verse da zero ; poiché, se, p. e. , tutte le ~ fossero nulle, la prima 

 relazione si ridurrebbe alla b P =0 , da cui, P =0, perchè b é di- 

 verso da zero; quindi la seconda relazione si ridurrebbe alla b B P i =0, 

 da cui f\ = ; e così via, si dedurrebbe che anche tutte le p sa- 

 rebbero nulle. 



Moltiplicando le identità precedenti ordinatamente per 1 , x, / , ... 



m +-n -p+1 



11+1 e sommando, si ottiene 1' identità : 

 f(x) [r„ + r t x 4- . 4- r n - p x n ~P] 4- g (a?) [p t 4- p t X + . 4 p m -p ■r'"~''} = 0, 



da cui segue che tutti i valori di x che annullano f(x) , annulle- 

 ranno il prodotto 



9 {co) [pò 4 pix 



p m - p x™-*] 



Ma il secondo fattore è al più di grado m — p in x , e non 

 è identicamente nullo, poiché le p non possono essere tutte nulle; 

 quindi il primo fattore g Oc) dovrà essere annullato da almeno p 



