4 Le sostituzioni rappresentate mediante trasposizioni. 
tutte quelle parti che sono uguali a zero. Così ad esempio per 
m-—k=-5 le partizioni che ci occorrono sono 
pn 
ur 
pd MD 
i DO ADD DI 00 > O 
Ciascuna partizione si sostituisca nella seconda delle (1), e si 
trovino le soluzioni.intere e positive dell’ equazione. indeterminata 
che così si ottiene. 
Pel modo come si fanno le partizioni di un numero, dalla 
9a 6 32 delle osservazioni precedenti si deduce la seguente impor- 
tante osservazione che serve a risparmiare molti calcoli : 
4. Se Pi Po «> Pr è una partizione qualunque, esse parti essen- 
do disposte in ordine crescente, se è 
(er + 1) pr + tpra1 + + 3po + 2p, > m 
si può tralasciare questa e tutte le partizioni che seguono, perchè non 
forniscono alcuna soluzione del problema. 
1.0 Esempio. Sia m-=10 e k=5, allora m-—k==5. Le partizioni 
di 5 sono quelle sopra scritte ; la prima ci dà a==2, tutte le altre 
vanno scartate in virtù della 4 osservazione e quindi una sostitu- 
zione formata con 10 elementi e 5 trasposizioni non può essere 
che del secondo ordine. 
9.0 Esempio. Sia m=7 e k==5. In questo caso è m—k=2 e 
le partizioni di 2 sono 
2 
kl 
La prima va esclusa per l’ osservazione 12, la seconda parti- 
zione ci dà, sostituita nella seconda delle (1), 
a+£B=1 
e quindi si hanno le soluzioni : a=2, 6=5; a=3, 6=4, cioè una so- 
