Le sostituzioni rappresentate mediante trasposizioni. 15 
Se il numero degli elementi dati è 2, allora è X=n, l’ultimo 
termine del precedente polinomio diviene 
e questo è il numero delle sostituzioni di 2° ordine e di 2n ele- 
menti contenute nella totalità delle sostituzioni che possono formarsi 
con 2n elementi dati. 
12. Numero delle sostituzioni che possono formarsi con n elementi. 
Volendo calcolare il numero totale, N, di sostituzioni che pos- 
sono scriversi con » elementi dati, da quanto è detto al n. 2 è 
facile vedere che 
Dimostro che è 
(14) Na Di Ad Did ra + N =n1. 
Pria di tutto si vede direttamente mediante le formole (13) che 
NI da KI 
NS + M=21+1ts BI 
N3 + Na+ N =1+3+2=38! 
€ così di seguito. Ora ammessa vera la formola 
(15) NOIA, GRA PSP, $. + NÉ = (n1) 
dico che è vera la (14); cioè se si ha che 
(16) N, + NM + N +..... PNE =) 
per 4=1, 2, 3,..., n—1, dico che la (16) ha luogo anche per &k=n. 
Infatti, in virtù della (8) si ha 
N° ni 
Ni = (0-1) + (0-2) NO a + (0) +. + 1NÎ 
Mala LN e AN yi + 2Nj 
NT = (n-LDNIÉ + (n—2NTÉ + (n-3)N"AÀ 
Ni = (a_1)Nf-] + (n-2NTÈ 
n-1l 
3 bia ea (n—-1)N5-î 
n—-1 
