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» THÉORÈME. — Si dans un intervalle fini, pour o £x Sa, la fonction f(x) 
est représentée par la série de Maclaurin 
Hi Joe ro 2 J'(o)+.. ere aee oe 
elle continuera à être representee par la même série tant que les dérivées succes- 
swes f"(x) seront continues et que la série de Maclaurin sera convergente. 
» Je vais indiquer, sur un exemple particulier, les points principaux de 
la démonstration qui sera publiée prochainement. 
» On suppose que les coefficients de la série (1) soient tous positifs; on a 
toujours 
po (o) 
; > 
OAO 
les dérivées f” (æ) sont supposées toutes positives pour o <x <1. 
» Rappelons que le nombre 9, compris entre zéro et l'unité, qui figure 
dans l'expression du reste: R, quand on prend la somme des n premiers 
termes de la série (1), 
(1 a Di 25 
S nt O 
est déterminé par léquation 
(3) (1—0) f" (0x)= L (1 — 2)" f” (tæ)dt. 
» 1° Le nombre 8 est inférieur au nombre 0, déterminé par l'équation 
i=. |” I 
(4) (55) TEP? 
lequel tend constamment vers zéro quand z augmente indéfiniment; on 
remarque que 0, est indépendant de la forme de f(x). 
» 2° Pour pouvoir raisonner sur l'équation qu’on obtient en prenant 
les dérivées des deux membres de (3) par rapport à æ, on fait quelques 
remarques préliminaires. Soit 
O<T<t— 6, 0x<a; 
: étant une quantité donnée très petite; on démontre l'inégalité 
(5) (na) Ox) = (10) Pb )e > (1—1) = æ) fe) 
