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les F étant des fonctions uniformes du point analytique (y, 7", ..., y), 
d’ailleurs arbitraire, sur la surface f, et la transformation ainsi obtenue 
sera évidemment réversible. Nous voyons donc que la relation algé- 
brique (1) pourra être transformée en elle-même par une substitution 
uniforme réversible; nous pouvons appeler une telle substitution une sub- 
stitution biuniforme. La substitution biuniforme (S) renfermera un para- 
mètre arbitraire À. Dans le cas où m = 1, cette transformation biuniforme 
est en même temps birationnelle ('); mais il n’en est pas ainsi en général, 
el c’est ce qui complique l'étude dont nous nous occupons. 
» Jl était naturel d'étudier d’abord le cas le plus simple, c’est-à-dire le - 
cas où la substitution (S) serait birationnelle. C’est ce que j'ai fait, en trai- 
tant d’abord le problème suivant : reconnaître sur l'équation différentielle 
si l'intégrale générale est uniforme et conduit à une transformation (S) 
birationnelle. Lorsqu'on a reconnu qu'il en est ainsi, on peut effectuer 
complètement l'intégration de l’équation; toute cette question est étroite- 
ment liée à mes recherches sur les transformations birationnelles des sur- 
faces, étendues à un nombre quelconque de variables. 
» Dans le cas, parfaitement délimité, qui précède, l'intégrale générale 
de l’équation différentielle est une fonction uniforme de x, définie dans 
tout le plan. I] n’en est pas nécessairement ainsi dans le cas général : toute 
intégrale de l’équation (1) peut être une fonction définie seulement dans 
une partie du plan, celle-ci variant, d’ailleurs, d’une intégrale à l’autre 
avec les constantes arbitraires. Telle serait, par exemple, l'équation du 
troisième ordre obtenue par Jacobi dans son Mémoire sur certaines séries 
de la théorie des fonctions elliptiques (Journal de Crelle, t. 34) 
PONEY) =" GG y +). 
» Son intégrale générale est une fonction uniforme définie seulement 
dans une certaine partie du plan. 
» J’indiquerai seulement, en ce moment, la forme qui m'a été le plus 
commode pour la discussion du cas général, en me bornant aux équations 
du second ordre. Soit 
| dpi} 
une relation algébrique. Je considère les équations 
P dx +Q dy =o, 
P, dx + Q, dyes dt, 
(+) On peut établir, d'une manière générale, que toute correspondance biuniforme 
entre deux courbes algébriques est nécessairement birationnelle, 
