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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de la distribution électrique. 
Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite. 
« Le problème de la distribution électrique se ramène, comme on le sait, 
au problème de Dirichlet qui consiste à déterminer une fonction V qui sa- 
tisfasse à l'équation de Laplace AV = o à l’intérieur d’une certaine région 
et qui prenne sur la surface qui limite cette région des valeurs données. 
Riemann a donné de la possibilité de ce problème une démonstration 
simple et élégante, mais peu rigoureuse. Depuis, MM. Neumann, Schwarz et 
Harnack ont imaginé plusieurs méthodes qui permettent, non seulement 
d'établir Pexistence de la solution, mais de la déterminer complètement. 
Ces méthodes ont un double caractère : ce sont à la fois des méthodes de 
démonstration, destinées à montrer la possibilité du problème, et des mé- 
thodes de calcul déstinées à le résoudre effectivement. A ce second point 
de vue, elles sont très imparfaites; car, si elles sont susceptibles théorique- 
ment de donner une approximation indéfinie; si même elles conduisent 
assez facilement à certaines inégalités auxquelles doit satisfaire la fonction 
cherchée, elles ne permettraient pas, sans un labeur très pénible, de 
pousser l'approximation un peu loin. Il n’est donc pas inutile d'en ima- 
giner de nouvelles, quand même elles devraient avoir les mêmes inconvé- 
nients, ce qu'il paraît, d’ailleurs, impossible d'éviter. En effet, chaque 
méthode nouvelle conduit facilement à des inégalités nouvelles qu'il peut 
être intéressant de connaître. C’est ce qui m'engage à exposer ici un pro- 
cédé qui n’a pas encore été proposé, du moins que je sache. 
» Supposons, pour fixer les idées et simplifier l'exposé qui va suivre, 
qu'il s'agisse de déterminer la distribution électrique sur un conducteur 
unique (mais de forme, d’ailleurs, quelconque), chargé au potentiel inté- 
rieur 1. On peut imaginer un réseau formé d’une infinité de sphères S,, 
Sz, ..., S;, ..., qui sont toutes et tout entières extérieures au conducteur, 
Je suppose, de plus, que tout point extérieur au conducteur soit intérieur, 
au moins à l’une des sphères S;. J'envisage, enfin, une sphère X dont le 
rayon R soit assez grand pour que le conducteur y soit contenu tout entier. 
» Imaginons maintenant une quantité R d'électricité positive répartie 
sur > avec une densité uniforme Z5 Le potentiel de cette électricité sera 
égal à 1 à l’intérieur de Z et plus petit que 1, mais positif, à l'extérieur. 
» Rappelons maintenant un résultat bien connu : c’est qu'il est possible 
