Cra) 
riant pur À, de u, quand on l’a multiplié par une puissance convenable a” 
de a; et comme A, doit rester invariable quand on change x, en x, + kr, 
(q = 2,3, ..., p), ce qui revient à changer b,— en b,_, + ka sans altérer a, 
ni les autres coefficients b, ni les coefficients des formes v3, ..., Vm, 1l faut 
bien que cette expression de ah, ne renferme explicitement que a et les 
coefficients des formes g, mais aucun des b. De plus, a’, doit rester inva- 
riable, à une puissance près du module, par toute substitution n’affectant 
que les variables x,, ..., x, entre elles; c’est donc, par définition, une 
fonction entière de a et d’invariants du système des formes v. 
» Quant à la première partie du théorème, elle s'établit en remarquant : 
» 1° Que tout invariant A, du système des formes p satisfait, comme 
tel, aux (p—1)(p— 2) équations différentielles qui s'écrivent dans la 
notation de M. Cayley 
d x 
— — 5 b —— . > . 
(zz) =0 [g=2,3,...,p; s= 2,3,..., p; zgi; 
» 2° Que Å, satisfait, en outre, comme chacune des formes # dont il 
dérive, aux ( p — 1) équations 
d E 
(z) =° LI = uP 
» 3° Qu'enfin, si 8 est le degré de %, par rapport aux coefficients de u, 
x son poids par rapport à æ, (le poids de chacun des coefficients de v, étant 
pris égal à r), p. l'entier m0 — es > et que l’on pose 
h = hat + (ht + ha, + ha, +... )at | 
+ (hæt a+... HALE +...)aæt +... 
où À,, h,,h, ...,h,, h., -s Ra, ... sont déterminés, de proche en proche, 
par les relations 
dho ste dho ; dho 2 
(a FE) =h, (z E) =K, i (x, 2) =#, LA 
dus ( dh! 
(æ, a) mea LE. £ J = afa | .s..9 
dh, e dh, ne n 
Q a) F (æ, E) Faha 
dont la loi de formation est évidente, À satisfera identiquement aux 
