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» Quand on passe de ce cercle au cercle infiniment voisin, le centre O 
: prend un déplacement dont nous désignerons par u dl, v dl, w dl les com- 
posantes suivant Ox, Oy, Oz; en même temps, le trièdre Oxyz, supposé 
lié invariablement au plan du cercle, subira une rotation dont nous appel- 
lerons p dl, q dl, rdl les composantes; soit, enfin, ọ l’angle qu’un rayon OM 
du cercle fait avec Ox; les variables Z et » seront prises pour coordonnées 
à la surface. 
» Dans ces conditions ('), la distance de deux points infiniment voisins 
est donnée par la formule 
G) ds? = |(R' + u coso + vsino) + (w + pR singo — qR coso)?’ | dl 
+ [| (rR + v cosọ — u sino) dl + R dọ) f’. 
» Si l’on désigne par M, Q, N les trois parenthèses, l'équation des tra- 
jectoires orthogonales devra admettre un facteur d'intégrabilité de la 
forme 
F(0) 
et, sous cette condition, qui est nécessaire et suffisante, la surface sera 
décomposée en carrés par les cercles et leurs trajectoires re à is 
Posons 
E o 
T = (Rw — R'u — rRe — fu) cosy 
(2) +(rRu +R — R'e — fe)sino + RR — u — 6 — fR, 
= (JR — q R? — qRR' — wu — pr R?) coso 
+ (R? p' + RR'p — qrR — wp — fpR)sinọ 
+ Rø — pRe + qRu — fw, 
les accents désignant des dérivées prises par rapport à /; la condition pré- 
cédente s'exprime alors par l'identité 
MT + SQ 6e, 
qui doit avoir lieu quel que soit ©. 
(1) Mémoire sur les surfaces à génératrices circulaires (Annales de l’École Nor- 
male, p. 123; 1885). 
