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De même, la forme cubique ternaire devra avoir au moins autant d’in- 
variants et covariants purs qu'il existe d’invariants dans le système composé 
d'une forme cubique et d’une forme quadratique binaires. Or ce dernier 
possède, comme on sait, cinq invariants, savoir quatre droits et un gauche, 
dont le carré s'exprime en fonction des invariants droits. Mais, d'autre 
part, il est connu que la forme cubique ternaire possède précisément deux 
invariants et trois covariants purs, dont un gauche, et que le carré de ce 
dernier s’exprime en fonction des formes droites. 
» Pour la forme biquadratique ternaire, le théorème IT conduit à consi- 
dérer le système de trois formes binaires, d'ordres 2, 3 et 4. Ce système ne 
paraît pas avoir été étudié; toutefois, il possède certainement plus de 
vingt-sept invariants distincts, puisque tel est le nombre qu’on obtient en 
prenant les trois formes une à une, puis deux à deux. La forme biquadra- 
tique ternaire a donc certainement plus de vingt-sept invariants ou cova- 
riants purs distincts. 
» La démonstration donnée pour la première partie du théorème I sub- 
siste sans modification si l’on considère le système comprenant, outre les 
péninvariants principaux (#,,..., ,) de u traitée comme forme binaire, 
tous les autres péninvariants dépendant de cette forme. Mais cette exten- 
sion n’est pas indispensable, car tout péninvariant, quand on le multiplie 
par une certaine puissance de a (ce qui n’altère pas son ordre comme 
forme à p — 1 variables), devient une fonction entière des péninvariants 
principaux ; tous les invariants qui s’introduiraient par cette extension du 
système ne sauraient donc fournir, en dernière analyse, que des expres- 
sions que l’on est certain de rencontrer en appliquant la méthode indi- 
quée plus haut aux invariants du système formé par les seuls péninvariants 
principaux. Seulement, l'existence de ces autres péninvariants indique 
a priori l'existence de combinaisons des invariants, divisibles par certaines 
puissances de a. Par exemple, on sait que ¢? + 4¢3 est divisible para’, quel 
que soit m; le quotient, pour p = 3, est évidemment une forme sextique 
binaire, du quatrième degré dans les coefficients de u; pour l'invariant 
quadratique de cette forme, on a 0 = 8, z = 12, d’où u — 8m — 18. Toute 
forme ternaire possède donc un covariant pur ( qui peut d’ailleurs être ré- 
ductible à d’autres plus simples) du huitième degré dans les coefficients 
et d'ordre 8m — 18 dans les variables. Pour la forme cubique, c’est le co- 
variant g° de M. Gordan. 
» Dans ‘le même ordre d'idées, puisque Pa dent carré parfait 
pour a = o, son discriminant doit être divisible par a. On en conclut sans 
