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2, +kx, et G paré, — #46, (g = 2, 3, ... 'p); 2° pour toute substitution : 
qui n’affecté que les Variables %,, .:.,x,, et €, ..., €. 
» En effet, si l’on désigne par 7 le covariant identique X2£,x,, v, peut 
s'écrire 
p i ar — (ax, P uNe 
et, sous cette forme, il est aisé de vérifier qu’on obtient le même résultat, 
soit en faisant dansv, l’une des deux substitutions indiquées ci-dessus, soit 
en laissant les œ et les É invariables et donnant aux coefficients les nou- 
velles valeurs qu’ils prennent dans u, par l'effet de cette substitution. 
» Si donc on adjoint ¢; au système (Vas #3, .…., Vm)»: les nouveaux inva- 
riants du système ainsi étendu seront tous, par un raisonnement analogue 
à celui qui a été employé pour établir le théorème I, des contrevariantsou 
des péninvariants mixtes de u. Réciproquement, puisque ača, Abg, +. 46 
sont des fonctions entières de Ë,, des coefficients b, et des p — 1 coefficients 
de #,, tout contrevariant ou péninvariant mixte de u, multiplié par une 
puissance convenable de a, s'exprime en fonction entière de a, de &,, des 
coefficients des formes gi, Va, ...,e,, enfin de b,, b, .…., bp- Mais, devant 
rester invariable par le changement de >, en x, + kæ, et de é, en €, — ké, 
(ge, 35 p), puisqu'il ne contient plus explicitement £,, il ne peut 
renfermer non plus explicitement b,_,, ni par suite aucun des coefficients b. 
Devant en outre rester invariable pour toute substitution qui n’affecte que 
Las se, Ep, Et Éa, . , Ép, il est par définition une fonction entière de.a, 
de ¢,, et d’invariants du système (?,, Ps, ..., Pm). D'où le théorème suivant : 
» Tuéorème IV. — Pour obtenir tous les contrevariänts et péninvariants 
mixtes distincts; appartenant à une forme ou à un système de formes à p varia- 
bles, il suffit de construire les invariants communs à la forme linéaire vi, à 
P — 1 variables, ci-dessus définie (traitée comme une forme à coefficients con- 
Slanis), et à une ou plusieurs des formes du système >; 
ar Puce Vs here Dn, 
déjà considéré dans l'énoncé généralisé du théorème T; puis de combiner ces in- 
fartants entre eux et avec a, a’, a”, ..., et €, traités comme invariants acces- 
? soires, de manière à diviser par a le plus possible. Ceux des quotients succes- 
sufs qui ne seront pas réductibles par le méme procédé à des expressions plus 
simples seront les contrevariants et péninvariants mixtes distincts demandes. 
» Par le raisonnement déjà employé, on conclut en outre que : 
» Tnéorëme V. — Le nombre total des invariants, contrevariants el cova- 
