( 587 } 
riants (purs ou mixtes) que possède une forme d'ordre m à p vartables, est 
au moins égal au nombre des invariants distincts que possède un système de m 
formes à p — 1 variables, respectivement d'ordres 1, 2, ay m. 
» TaéorkMe VI. — Lemémenombre total pourunsystème de n,+n,;+...+41m 
formes indépendantes simultanées à p variables, savoir n, linéaires, ..…., An 
d'ordre m, est au moins égal au nombre d'invariants distincts que possède un 
système de n,+2na+...+ mn, formes à p — 1 variables, composé de nm 
formes d’ordre M, hn tAm- d'ordre m —1,..., ny+ nn +... + ns b- 
neaires. 
» Mais on sait que l’adjonction d’une forme linéaire à un système quel- 
conque de formes binaires introduit précisément autant d’mvariants dis- 
tincts que ce système comprenait de covariants distincts, y compris les 
formes indépendantes. Pour p = 3, on peut donc réunir les théorèmes IH 
et IV dans l'énoncé unique que voici : 
TnéorÈme VII. — Un système de formes ternaires indépendantes, com- 
pose de n, formes linéaires, n, quadratiques, ..., n, d'ordre m, possède au 
moins autant d’invartants et covariants purs distincts qu'il existe d’invariants 
distincts, et au moins autant de contrevariants et de covariants mixtes distincts 
qu'il existe de covariants distincts et de formes eean dans le système 
den, +2n,+...+mn,,—1/formes binaires indépendant > SAVOIT Nn À ordre m, 
Bn E Rp doorde MH so te HR, il aire 
» La limite inférieure définie par ces théorèmes est dépassée dans les 
cas les plus simples, en ce qui concerne les contrevariants et covariants 
mixtes. Par exemple, pour une forme cubique ternaire, le théorème VIT 
indique l'existence de douze de ces formes; d’après les recherches de 
M. Gordan, il en existerait vingt-sept. Pour le système de deux formes 
quadratiques ternaires, ce savant en a trouvé douze, au lieu du minimum 
six du fournit le théorème. 
> J'ai d’ailleurs appliqué à l'étude détaillée de ces deux cas le procédé 
d'investigation fondé sur les théorèmes I et IV; les résultats de ces re- 
hahe seront consignés dans des Mémoires développés que je me pre- 
pose de publier prochainement. » 
