( agi ) 
et si l’on pose, pour abréger, 
Su, q) Sr, 9) = Su: 8) (Ra EN PRRT 
les seize combinaisons de fonctions théta d'un seul argument 
S(w;x)—S (y: 2h Ide; s) +y z) >I (wie) — 3 (7523), —S(w;2) + Iy; 3), 
—I (w; T) EII z) Iw s) FIY z)h) Iwe) +97 h — F lwia) y'a), 
(1) Iw wE Ih Ilw 2) — 352), (ms g) Bly 2), lw w) 2), 
I WAG 2), Sdt G h ilr rP h S(wi &)+ Iy 2) 
forment un système orthogonal. 
» Les relations établies par ce théorème sont très nombreuses; car, si 
seize éléments 2, (i, k = 1, 2,3, 4) forment un système orthogonal, on a 
les formules bien connues 
Li En t igk + Eigr T Bigr O (BEEN SAs AR 
(1) PE e E E a 2 
Bin Bis 8i O Eir mE 
où g désigne une quantité constante. On en déduit facilement plusieurs 
autres; je signalerai les suivantes comme les plus importantes pour la 
théorie des fonctions théta : 
2 2 2 2 t 3 
Siw i Gir i Bim F Ekr H Eu, Emi 
2 AS | R. 2 2 2 
(2) | Emi Sur TBn T Eik Br t Eim C Em Bami 
Eir Erk — Eik Eri = EU Emm m Blm Emr 
Les indices z, #, 7, met à, k', l’, m, qui sont différents les uns des autres, 
désignent les nombres 1,.2, 3, 4 et doivent être choisis dans la dernière 
formule, de telle manièré que les permutations i, k, l, met ë, k, l, m 
appartiennent à la même classe: 
» La démonstration du théorème énoncé est très simple. En appliquant 
aux produits de deux fonctions thêta les transformations connues du se- 
cond degré, les formules signalées apparaîtront comme des identités. 
» Ces équations identiques sont très remarquables, parce qu’elles mon- 
trent que les fonctions théta de > variables se “mr Os, BES s cree 
orhogonaux. 
» Je me propose ici d'expliquer la voie par lui ts on arrive à ces Da 
tèmes Dern et de SE quelques SAUTE “n et impo 
kantes: seven . ee 
